호모토피 범주(영어: homotopy category)는 수학, 특히 대수적 위상수학과 호모토피 이론에서 사용되는 개념으로, 위상 공간들의 범주에서 호모토피 동치 또는 약한 동치(weak equivalence)에 의해 공간들을 식별하여 얻어지는 범주이다. 이 용어는 실제로 서로 다르지만 관련이 있는 두 가지 범주를 가리키는 데 사용된다.
1. 기본(naive) 호모토피 범주 hTop
가장 전통적인 의미의 호모토피 범주는 위상 공간의 범주 Top에서 출발하여, 대상(위상 공간)은 그대로 두고 사상(연속 함수)들을 그 호모토피류(homotopy class)로 대체한 범주이다. 즉, 두 연속 함수 $f, g: X \to Y$가 서로 호모토픽(homotopic)하여 연속적으로 변형될 수 있다면, 이 둘은 호모토피 범주에서 동일한 사상으로 간주된다. 이 범주를 hTop으로 표기하며, 이 범주에서 동형 사상이 되는 연속 함수를 호모토피 동치(homotopy equivalence)라고 부른다. 예를 들어, 원 $S^1$, 평면 $\mathbb{R}^2$에서 원점을 뺀 공간, 뫼비우스 띠는 서로 위상동형(homeomorphic)은 아니지만 호모토피 동치이므로 이 범주에서는 동일한 대상으로 취급된다.
2. 퀼런(Quillen) 이후의 호모토피 범주
다니엘 퀼런(Daniel Quillen)이 1967년에 도입한 보다 정교한 개념으로, 현재 호모토피 이론에서 더 중요하게 다루어지며 단순히 "호모토피 범주"라고 하면 일반적으로 이쪽을 가리킨다. 이 범주는 약한 호모토피 동치(weak homotopy equivalence) — 즉, 경로 성분 집합과 모든 호모토피 군에 전단사를 유도하는 연속 함수 — 를 동형 사상으로 간주하도록 위상 공간의 범주를 국소화(localization)하여 얻어진다. J. H. C. 화이트헤드(Whitehead)의 정리에 따르면, 이 호모토피 범주는 CW 복합체들로 이루어진 기본 호모토피 범주의 충만한 부분 범주(full subcategory)와 동치이다. 따라서 이 범주는 위상 공간 범주의 복잡성을 크게 단순화한다.
3. 모형 범주와의 관계
더 일반적으로, 호모토피 범주는 임의의 모형 범주(model category)로부터 구성될 수 있다. 모형 범주 $(\mathcal{C}, \mathfrak{W}, \mathfrak{F}, \mathfrak{C})$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 호모토피 범주 $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$는 다음과 같이 정의된다:
- 대상: $\mathcal{C}$의 대상들 가운데 올대상(fibrant)이자 쌍대올대상(cofibrant)인 것들.
- 사상: $\mathcal{C}$의 사상들의 호모토피류.
모형 범주 $\mathcal{C}$에서 호모토피 범주 $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$로 가는 함자 $H: \mathcal{C} \to \operatorname{Ho}(\mathcal{C})$가 항상 존재하며, 이는 $\mathcal{C}$ 속의 모든 약한 동치를 $\operatorname{Ho}(\mathcal{C})$의 동형 사상으로 보낸다. 이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.
4. 예시
- 위상 공간의 (퀼런) 모형 범주의 호모토피 범주는 CW 복합체와 그 사이의 연속 함수의 호모토피류들의 범주와 동치이다.
- 사슬 복합체(chain complex)의 범주에 준동형 동치(quasi-isomorphism)를 약한 동치로 하는 모형 구조를 주면, 그 호모토피 범주는 유도 범주(derived category) $\mathcal{D}(\mathcal{A})$가 된다.
- 스펙트럼(spectrum)의 범주에 대한 호모토피 범주는 안정 호모토피 범주(stable homotopy category)라고 불린다.
5. 성질 및 의의
호모토피 범주는 위상 공간의 여러 불변량(호몰로지, 코호몰로지, 호모토피 군 등)이 함자(functor)로서 정의되는 자연스러운 대상이다. 예를 들어, 특이 호몰로지(singular homology) $H_i$는 호모토피 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 함자로 볼 수 있다. 또한 특이 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 공간(Eilenberg–MacLane space) $K(A, i)$에 의해 호모토피 범주 위에서 표현 가능한 함자(representable functor)가 된다.
한편, 프레이드(Freyd)는 1970년에 (점을 가진 공간의) 기본 호모토피 범주와 (진정한) 호모토피 범주 모두 구체적 범주(concrete category)가 아님을 증명하였다. 즉, 이들 범주에서 집합의 범주로 가는 충실한 함자(faithful functor)가 존재하지 않는다.
