호모토피 동치(영어: homotopy equivalence)는 대수적 위상수학에서 위상 공간을 분류하는 개념의 하나이다. 이는 위상 동형(위상 공간의 범주에서의 동형 사상)보다 더 거친 동치 관계로서, 호모토피 군이나 특이 호몰로지와 같은 불변량을 보존하지만 차원과 같은 성질은 보존하지 않는다.
정의
위상 공간 $X$와 $Y$ 사이의 연속 함수 $f: X \to Y$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 연속 함수 $g: Y \to X$가 존재한다면 $f$를 호모토피 동치라고 한다.
- $f \circ g \simeq \operatorname{id}_Y$
- $g \circ f \simeq \operatorname{id}_X$
여기서 $\simeq$는 같은 정의역과 공역을 갖는 두 연속 함수 사이의 호모토픽 관계(연속 변형 가능 관계)를 나타낸다. 이때 $g$를 $f$의 호모토피 역원이라고 부른다.
성질
호모토피 동치 관계는 다음과 같은 성질을 가진다.
- 모든 위상 동형(위상 공간의 동형 사상)은 항상 호모토피 동치이다.
- 두 호모토피 동치의 합성 역시 호모토피 동치이다.
- 호모토피 동치 $f: X \to Y$에 대하여, $g \circ f \simeq \operatorname{id}_X$이자 $f \circ g \simeq \operatorname{id}_Y$인 호모토피 동치 $g: Y \to X$가 존재한다.
따라서 두 위상 공간 사이에 호모토피 동치가 존재하는지 여부는 위상 동형 관계보다 더 엉성한 동치 관계를 이룬다. 이 동치 관계에 대한 동치류를 호모토피 유형(영어: homotopy type)이라고 한다. 서로 위상 동형인 두 위상 공간은 서로 호모토피 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
약한 호모토피 동치
위상 공간 $X$와 $Y$ 사이의 연속 함수 $f: X \to Y$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $f$를 약한 호모토피 동치(영어: weak homotopy equivalence)라고 한다.
- $f$로부터 유도되는 연결 성분의 함수 $f_*: \pi_0(X) \to \pi_0(Y)$는 전단사 함수이다.
- 임의의 $x \in X$ 및 모든 $n \ge 1$에 대하여, $f$로부터 유도되는 호모토피 군의 군 준동형 $f_*: \pi_n(X, x) \to \pi_n(Y, f(x))$는 모두 군의 동형이다.
모든 호모토피 동치는 항상 약한 호모토피 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
화이트헤드 정리
화이트헤드 정리(Whitehead theorem)에 따르면, 두 연결 CW 복합체 사이에 약한 호모토피 동치가 존재한다면 이들 사이에는 호모토피 동치가 존재한다. 즉, CW 복합체의 경우 호모토피 유형을 약한 호모토피 동치로서 계산할 수 있다.
포함 관계
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
항등 함수 ⊊ 위상 동형 ⊊ 호모토피 동치 ⊊ 약한 호모토피 동치 ⊊ 연속 함수
예시
- 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$은 한 점 공간과 호모토피 동치이다. 이러한 공간을 축약 가능 공간(contractible space)이라고 한다.
- 원 $S^1$과 $\mathbb{R}^2 \setminus {0}$은 서로 호모토피 동치이다. 일반적으로 $\mathbb{R}^n \setminus {0}$은 $S^{n-1}$과 호모토피 동치이다.
- 뫼비우스 띠(Möbius strip)는 원 $S^1$과 호모토피 동치이다.
- 원판 $D^2$은 한 점과 호모토피 동치이지만, 위상 동형은 아니다.
불변량
호모토피 동치는 대수적 위상수학에서 많은 개념들이 호모토피 불변성을 가지기 때문에 중요하다. 두 공간이 호모토피 동치일 경우, 이들의 호모토피 군, 특이 호몰로지 군, 코호몰로지 군은 모두 동형이다. 또한 경로 연결성이나 단순 연결성과 같은 성질도 보존된다.
