헤센베르크의 정리(Hessenberg's theorem)는 선형대수학의 정리이다. 독일의 수학자 게르하르트 헤센베르크(Gerhard Hessenberg, 1894년~1925년)의 이름을 따서 명명되었다. 이 정리는 데자르그의 정리(Desargues' theorem)라고도 불린다.
내용
헤센베르크의 정리는 실수 성분을 갖는 모든 정사각행렬이 어떤 상부 헤센베르크 행렬(upper Hessenberg matrix)과 직교적으로 닮았다(orthogonally similar)는 것을 말한다. 즉, 임의의 실수 성분의 n×n 행렬 A에 대하여, 직교행렬(orthogonal matrix) P가 존재하여 PTAP가 상부 헤센베르크 행렬이 된다. 상부 헤센베르크 행렬이란 주대각선 아래 첫 번째 대각선(subdiagonal) 아래쪽의 모든 성분이 0인 행렬을 의미한다.
이 정리는 수치선형대수학에서 행렬의 고유값 계산 및 QR 알고리즘 등의 효율적인 수치적 방법론에 기초를 제공한다. 헤센베르크 행렬로의 변환은 하우스홀더 변환(Householder transformation) 등을 통해 유한한 단계로 수행할 수 있으며, 이후 QR 분해를 반복 적용하여 삼각행렬로 축소하는 과정에 활용된다.
관련 개념
- 헤센베르크 행렬(Hessenberg matrix)
- 슈어 분해(Schur decomposition)
- QR 알고리즘
