해석적 집합(解析的集合, analytic set)은 위상수학과 기술적 집합론(記述的集合論)에서 정의되는 집합의 한 종류이다. 폴란드 공간(Polish space) 위에서 정의되며, 보렐 집합(Borel 집합)의 연속적 상(像)으로 정의되거나, 동등하게 폴란드 공간의 보렐 부분집합의 연속적 사상에 의한 상으로 정의된다.
정의에 따르면, 폴란드 공간 $X$ 부분집합 $A$가 해석적 집합이 되기 위한 필요충분조건은 어떤 폴란드 공간 $Y$와 $Y$의 보렐 부분집합 $B$, 그리고 $Y$에서 $X$로의 연속 함수 $f$가 존재하여 $A = f(B)$가 되는 것이다. 또는 $A$가 어떤 폴란드 공간에서 보렐 집합의 연속적 상일 때 해석적이라고 한다.
해석적 집합의 주요 성질은 다음과 같다.
- 모든 보렐 집합은 해석적 집합이다.
- 해석적 집합은 르베그 측도 가능(Lebesgue measurable)하며, 베르 성질(Baire property)을 가진다.
- 해석적 집합의 여집합은 항상 해석적 집합이 아니다(해석적이지 않은 집합이 존재한다). 해석적 집합의 여집합은 코해석적 집합(co-analytic set)이라고 한다.
- 수스린(Souslin)의 정리에 따르면, 어떤 집합이 해석적 집합이면서 동시에 그 여집합도 해석적 집합일 필요충분조건은 그 집합이 보렐 집합인 것이다.
- 비가산 해석적 집합은 완비 거리 공간(perfect set)을 부분집합으로 가지며, 따라서 연속체 가설(Continuum Hypothesis)과 무관하게 연속체의 크기(cardinality of the continuum)를 가진다.
이 개념은 미하일 수스린(Mikhail Yakovlevich Souslin)이 1917년에 보렐 집합의 연속적 상이 반드시 보렐 집합이 아님을 발견하면서 도입하였다. 초기에는 '수스린 집합(Souslin set)'이라고 불리기도 했으나, 현대적 용어로는 해석적 집합(analytic set)으로 통일되어 사용된다.
