해밀턴의 원리(Hamilton's principle)는 아일랜드의 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805–1865)이 1834년에 정립한 고전역학의 원리로, 변분법(variational calculus)을 사용하여 계의 운동을 적분 방정식 형태로 기술하는 방법이다. 이 원리는 해밀턴의 변분 원리, 최소 작용 원리(principle of least action), 또는 정류 작용 원리(stationary-action principle)라고도 불린다.
해밀턴의 원리는 다음과 같이 수학적으로 표현된다. 일반화 좌표 $ \mathbf{q} = (q_1, q_2, \dots, q_N) $로 표현되는 계가 두 상태 $ \mathbf{q}_1 = \mathbf{q}(t_1) $와 $ \mathbf{q}_2 = \mathbf{q}(t_2) $ 사이에서 운동할 때, 작용(action) 범함수 $ S $가 극값(정류값)을 가진다는 원리이다.
$$ S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) , dt $$
여기서 $ L = T - V $는 라그랑지안(Lagrangian)으로, 계의 운동 에너지 $ T $와 위치 에너지 $ V $의 차이로 정의된다. 해밀턴의 원리는 이 작용 $ S $의 변분이 0, 즉 $ \delta S = 0 $임을 말하며, 이로부터 오일러-라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation)이 유도된다.
$$ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0 $$
이 방정식은 뉴턴의 운동 방정식 $ F = ma $와 수학적으로 동등함이 알려져 있다.
해밀턴의 원리는 고전역학에서 출발하였으나, 이후 전자기학, 일반 상대성 이론, 양자역학, 양자장론 등 현대 물리학의 여러 분야에서 최소 작용의 원리 형태로 확장되어 사용되고 있다. 역사적으로는 페르마의 원리(1662), 모페르튀의 원리, 오일러의 연구를 거쳐 라그랑주와 해밀턴에 의해 현재의 형태로 발전되었다.
