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해밀리

해밀리(해밀리턴, Hamiltonian)

1. 정의
해밀리(또는 해밀리턴, 영어 : Hamiltonian)는 물리학·수학·화학 등에서 시스템의 전체 에너지를 기술하는 함수를 가리키는 용어이다. 고전역학에서의 해밀토니언(Hamiltonian)과 양자역학에서의 해밀토니안 연산자(Hamiltonian operator)는 동일한 개념을 기반으로 하며, 각각 시스템의 동역학을 기술하는 핵심적인 수학적 도구이다.

2. 어원·표기

  • 영국 수학자·물리학자 *윌리엄 로완 해밀턴(William Rowan Hamilton, 1805‑1865)*이 제시한 정역학(formalism)에서 유래하였다.
  • 한국어 표기는 원어 발음에 따라 해밀턴, 해밀리, 해밀리턴 등으로 나타날 수 있지만, 학술적 문헌에서는 주로 해밀턴(Hamilton) 혹은 해밀토니언(Hamiltonian)이라는 표기가 사용된다.

3. 고전역학에서의 해밀턴
고전역학에서 해밀턴은 라그랑지안(Lagrangian) $L(q_i,\dot q_i,t)$으로부터 정의된다.
$$ H(q_i,p_i,t)=\sum_i p_i\dot q_i-L(q_i,\dot q_i,t) $$ 여기서

  • $q_i$ : 일반좌표
  • $\dot q_i$ : 일반속도
  • $p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$ : 일반운동량(공변량)

해밀턴은 정준 방정식(canonical equations)을 통해 시스템의 시간 전개를 기술한다.
$$ \dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} $$

4. 양자역학에서의 해밀토니안 연산자
양자역학에서는 고전 해밀턴 함수를 연산자 형태로 승격시켜 해밀토니안 연산자 $\hat H$를 정의한다.

  • 시간에 따라 변하지 않는 시스템에서는 슈뢰딩거 방정식
    $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r,t)=\hat H\Psi(\mathbf r,t) $$
    을 통해 파동함수 $\Psi$의 동역학이 결정된다.

  • $\hat H$는 일반적으로 운동에너지 연산자와 위치에너지 연산자의 합으로 표현된다. 예를 들어 입자 하나의 비상대론적 경우
    $$ \hat H=\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}+V(\hat{\mathbf r}) $$
    이며, 여기서 $\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla$는 운​동량 연산자, $V$는 포텐셜 에너지이다.

5. 물리·화학·공학 분야에서의 활용

분야 적용 예시
고전역학 천체역학(행성 궤도), 비선형 진동 시스템, 정역학적 최적화
양자역학 원자·분자 스펙트럼, 고체물리(밴드 구조), 양자정보(양자컴퓨터)
통계역학 미시상태의 에너지 분포를 기술, 볼츠만 인자 $\exp(-\beta H)$ 사용
양자장론 라그랑지안→해밀턴형으로 변환해 정준 양자화 수행
제어공학 해밀턴-야코비 방정식을 이용한 최적제어(포인카레 최대 원리)

6. 주요 성질

  1. 보존량

    • 해밀턴이 시간에 명시적으로 의존하지 않을 경우 (즉, $\partial H/\partial t=0$), 전체 에너지 $H$는 시간에 대해 보존된다(에너지 보존 법칙).

  2. 정준 변환

    • 정준 좌표 $(q_i,p_i)$ 사이의 변환이 해밀턴 방정식 구조를 보존하면 이를 정준 변환이라 하며, 해밀턴은 변환 후에도 동일한 형태를 유지한다.

  3. 시대이징(Phase-space) 흐름

    • 해밀턴 흐름은 리우빌-리오브라톤(Liouville) 정리를 만족하여, 위상공간에서 체적이 보존되는 흐름을 생성한다.

7. 관련 용어

  • 라그랑지안(Lagrangian) : $L = T - V$ (운동에너지와 퍼텐셜 에너지 차)
  • 정준 변환(Canonical transformation) : 해밀턴 방정식 형태를 보존하는 좌표·운동량 변환
  • 포인카레 최대 원리(Poncaré's principle of least action) : 실제 경로가 작용(액션) $S=\int L,dt$ 를 최소화한다는 원리, 해밀턴은 이 원리와 깊은 연관을 가진다.
  • 스펙트럼(Spectrum) : 해밀토니안 연산자의 고유값 집합, 시스템의 가능한 에너지 수준을 나타낸다.

8. 참고문헌 및 권장 도서

  1. Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. Classical Mechanics, 3rd ed. – 해밀턴 정역학의 기본 원리와 적용.
  2. Sakurai, J. J., & Napolitano, J. Modern Quantum Mechanics, 2nd ed. – 양자역학에서의 해밀토니안 연산자와 그 물리적 의미.
  3. Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. Statistical Physics, Part 1 – 통계역학에서 해밀턴을 이용한 분포 함수 유도.
  4. Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics – 정준 변환과 해밀턴 흐름에 대한 기하학적 해석.

9. 요약
해밀리(해밀턴)는 물리·수학에서 시스템의 전체 에너지를 표현하는 핵심 개념으로, 고전역학에서는 정역학 방정식의 기초가 되고, 양자역학에서는 파동함수의 시간 전개를 지배하는 연산자 역할을 한다. 에너지 보존, 정준 변환, 위상공간 흐름 등 다양한 물리 현상을 통합적으로 기술하는 도구로서, 현대 과학·공학 전반에 걸쳐 폭넓게 활용되고 있다.

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