해다양체(解多樣體, 영어: solvmanifold)는 미분위상수학에서 가해 리 군(solvable Lie group)의 몫공간으로 얻어지는 동차공간이다. 이는 "solvable"(가해)과 "manifold"(다양체)의 합성어에 해당하는 수학 용어로, 수학 분야에서 정식으로 정의되고 연구되는 개념이다.
정의
매끄러운 다양체 M에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 매끄러운 다양체를 해다양체라고 한다.
- 가해 리 군에 대한 동차공간이다.
- 연결 가해 리 군의 닫힌 부분군에 대한 몫공간이다.
성질
해다양체의 주요 성질은 다음과 같다.
모든 해다양체는 콤팩트 해다양체 위의 벡터 다발과 미분 동형이다. 이는 조지 모스토(George Mostow)가 추측하였으며, 루이스 오슬랜더(Louis Auslander)와 리처드 톨미에리(Richard Tomlieri)가 1970년에 증명하였다.
같은 기본군(fundamental group)을 갖는 콤팩트 해다양체는 서로 미분 동형이다. 군 G에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
- π₁(M) ≅ G인 해다양체 M이 존재한다.
- G는 자유 아벨 군의, 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군에 대한 확대이다. 즉, 꼬임 부분군이 자명한 유한 생성 멱영군 N 및 자연수 k에 대하여 1 → N → G → Z^k → 1이 성립한다.
특히, 해다양체의 기본군은 다순환군(polycyclic group)이다.
모든 해다양체는 비구형 공간(aspherical space)이다. 즉, 해다양체 X의 모든 2차 이상 호모토피 군은 자명군이다.
콤팩트 동차공간에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
- 해다양체이다.
- 비구형 공간이며, 그 기본군은 가해군이다.
예
멱영 리 군은 가해 리 군이므로, 모든 영다양체(nilmanifold)는 해다양체이다. 특히, 모든 원환면(torus)은 해다양체이다.
클라인 병(Klein bottle)은 영다양체가 아닌 해다양체의 예이다. 뫼비우스 띠(Möbius strip)는 비콤팩트 해다양체의 예이며, 이는 원 위의 자명하지 않은 실수선 다발로 볼 수 있다.
2차원 푸앵카레 군 ISO⁺(1,1) ≅ R²⋊R은 3차원 가해 리 대수이며, 콤팩트 몫공간을 갖는다. 이 몫공간들은 콤팩트 해다양체의 예이며, 기하화 추측(geometrization conjecture)에 등장하는 8개의 기하 가운데 하나에 해당한다.
참고 문헌
- Mostow, George (1953). "Factor Spaces of Solvable Groups", Annals of Mathematics 82: 689–697.
- Auslander, Louis; Tolmieri, Richard (1970). "Splitting theorems and the structure of solvmanifolds", Annals of Mathematics 92 (1): 164–173.
- Auslander, Louis (1973). "An exposition of the structure of solvmanifolds. Part I: algebraic theory", Bulletin of the American Mathematical Society 79 (2): 227–261.
- Auslander, Louis (1973). "An exposition of the structure of solvmanifolds. Part II: G-induced flows", Bulletin of the American Mathematical Society 79 (2): 262–285.
