복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수(해석 함수)가 정의역 내에서 극한점을 갖는 부분 집합 위의 값만으로 전체 함수가 유일하게 결정된다는 정리이다. 이 정리는 복소해석학의 기본적인 결과 가운데 하나로, 해석적 함수의 강력한 유일성을 보장한다.
정의
연결 열린집합 $ D \subseteq \mathbb{C} $ 위에 정의된 두 정칙 함수 $ f, g: D \to \mathbb{C} $가 주어지고, 집합 $ { z \in D : f(z) = g(z) } $가 $ D $ 안에서 극한점(집적점)을 가질 때, 항등 정리에 따르면 모든 $ z \in D $에 대하여 $ f(z) = g(z) $가 성립한다. 즉, 정의역 내에 한 점으로 수렴하는 서로 다른 점들에서 두 함수의 값이 일치한다면, 두 함수는 정의역 전체에서 완전히 동일하다.
특히, 정칙 함수 $ f: D \to \mathbb{C} $의 영점의 집합이 $ D $ 안에 극한점을 가지면, $ f $는 $ D $ 전체에서 항상 0이다. 다시 말해, 0이 아닌 정칙 함수의 영점들은 모두 고립점(isolated point)이며, 영점 집합은 가산 집합이다.
증명 개요
증명은 함수 $ f $의 모든 계수의 도함수가 0이 되는 점들의 집합 $ S = { z \in D : 0 = f(z) = f'(z) = f''(z) = \cdots } $을 정의한 뒤, 이 집합이 공집합이 아니고, 열린집합이면서 닫힌집합(열린닫힌집합)임을 보임으로써 이루어진다. 정의역 $ D $가 연결 집합이므로 $ S = D $가 되어 함수가 전체에서 0임이 증명된다.
유의사항 및 예외
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항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 정의역이 두 개 이상의 연결 성분으로 분리되어 있으면 각 성분에서 독립적으로 함수값을 정의할 수 있으므로, 한 성분에서 일치하더라도 다른 성분에서 일치하지 않는 정칙 함수가 존재한다.
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항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역 밖에 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 함수 $ f(z) = \sin(1/z) $는 $ \mathbb{C} \setminus {0} $에서 정칙이지만, 영점 집합 $ { 1/\pi, 1/(2\pi), 1/(3\pi), \dots } $는 0(정의역 밖의 점)을 극한점으로 가진다.
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항등 정리는 실변수 매끄러운 함수(smooth function)에 대해서는 성립하지 않는다. 실해석학에서는 무한 번 미분 가능한 함수라 하더라도 한 점에서 모든 도함수가 0이면서도 그 점 근방에서 0이 아닌 값을 가지는 함수(평탄 함수, flat function)가 존재할 수 있다. 이는 복소해석 함수와 실변수 매끄러운 함수 사이의 근본적인 차이점이다.
같이 보기
- 반사 원리
- 해석적 연속
참고 문헌
- Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill.
- 강승필 (2007). 《해설 복소함수론》, 경문사.
