정의
합성함수(composite function)란 두 함수 $f$와 $g$가 있을 때, 하나의 함수 $f$에 다른 함수 $g$의 값을 입력으로 사용하여 새로운 함수를 만드는 과정이다. 수식으로는 $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$ 로 표기한다. 여기서 $\circ$는 “합성”을 나타내는 기호이며, 오른쪽 함수 $g$가 먼저 적용된 뒤 그 결과가 왼쪽 함수 $f$의 입력으로 사용된다.
성질
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정의역과 치역
- $g$의 정의역이 $D_g$, 치역이 $R_g$라면, $f$의 정의역은 $R_g$와 겹치는 부분이어야 $(f \circ g)$가 정의된다.
- 합성함수 $(f \circ g)$의 정의역은 ${x \in D_g \mid g(x) \in D_f}$이다.
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결합법칙
- 함수의 합성은 결합법칙을 만족한다. 즉, $(h \circ f) \circ g = h \circ (f \circ g)$ 가 항상 성립한다.
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항등함수와의 관계
- 항등함수 $I(x)=x$와의 합성은 $(f \circ I)(x)=f(x)$ 및 $(I \circ f)(x)=f(x)$ 로, 원함수를 그대로 반환한다.
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역함수와의 관계
- $f$가 역함수 $f^{-1}$를 갖는 경우, $(f \circ f^{-1})(x)=I(x)$ 와 $(f^{-1} \circ f)(x)=I(x)$ 가 성립한다.
예시
- $f(x)=2x+3$, $g(x)=x^2$ 일 때, $$ (f \circ g)(x)=f(g(x))=2x^{2}+3. $$
- $f(x)=\sin x$, $g(x)=\ln x$ (단, $x>0$인 경우) 일 때, $$ (f \circ g)(x)=\sin(\ln x). $$
어원 및 사용 맥락
‘합성’은 한 객체를 다른 객체와 결합한다는 의미의 한자어 ‘合成’에서 비롯된다. 수학에서는 함수와 같은 사상을 “합성한다”는 표현으로 사용한다. 한국어 교재·논문·강의 등에서 “합성함수”라는 용어는 대수학, 미적분학, 함수론 등 거의 모든 수학 분야에서 표준적으로 사용된다. 또한 프로그래밍 언어의 함수형 패러다임에서도 함수 합성(composition)이라는 개념이 동일하게 적용된다.
