한원소 집합(한元素集合, 영어: singleton set)은 집합론에서 정확히 하나의 원소만을 갖는 집합을 말한다. 예를 들어, 집합 {0}은 원소로 0 하나만을 가지므로 한원소 집합이다. 영문 수학 용어로는 singleton, unit set, one-point set이라고도 불린다.
정의
집합 S에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 중 어느 하나를 만족시키는 집합을 한원소 집합이라고 한다.
- 집합의 크기(농도)가 1이다.
- S ≠ ∅이고, 임의의 a, b ∈ S에 대하여 a = b이다.
- S는 정확히 두 개의 부분집합을 가진다. 즉, 멱집합 P(S)의 크기가 2이다.
- 집합과 함수의 범주 Set에서의 끝 대상이다. 즉, 임의의 집합 T에 대하여 T에서 S로 가는 함수는 유일하다.
- 임의의 집합 T 및 함수 f: S → T에 대하여, f는 단사 함수이다.
- 임의의 집합 T 및 함수 f: T → S에 대하여, f는 전사 함수이다.
- 임의의 집합 T에 대하여, 곱집합 S × T는 T와 같은 크기를 갖는다.
한원소 공간
위상 공간 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 한원소 공간(영어: singleton space)이라고 한다.
- 집합으로서 한원소 집합이다.
- 위상 공간과 연속 함수의 범주의 끝 대상이다. 즉, 임의의 위상 공간 Y에 대하여 연속 함수 X → Y가 유일하게 존재한다.
- X ≅ Spec K인 체 K가 존재한다. 여기서 Spec은 환의 스펙트럼이다.
- 이산 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
- 하우스도르프 공간이자 비이산 공간이며, 공집합이 아니다.
- 이산 공간이자 연결 공간이며, 공집합이 아니다.
한원소 대수 구조
임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 대수 구조를 줄 수 있다. 예를 들어, 군의 구조를 주면 자명군, 환의 구조를 주면 자명환이 된다. 이는 대수 구조 다양체 범주에서 끝 대상을 이룬다.
어원 및 용어
'한원소'라는 표현은 "하나의 원소"라는 뜻으로, '한'(하나)과 '원소'(元素, element)의 합성어이다. 영어 용어인 singleton은 라틴어 singulus(하나의, 각각의)에서 유래한 단어로, 집합론에서 원소가 하나뿐인 집합을 지칭하는 표준 용어로 사용된다. 이 개념은 현대 집합론 및 위상수학 등 여러 수학 분야에서 기초적인 개념으로 널리 활용된다.
