하우스홀더 변환(Householder transformation)은 선형대수학에서 실수 또는 복소수 벡터 공간에 대한 대칭 반사(reflection) 연산을 구현하는 일종의 직교 행렬(orthogonal matrix) 또는 유니터리 행렬(unitary matrix)이다. 주로 행·열 변환을 통해 행렬을 삼각형 형태로 만들거나, QR 분해와 같은 수치 선형대수 알고리즘에서 사용된다.
정의
주어진 비영 벡터 $v \in \mathbb{R}^n$ (또는 $\mathbb{C}^n$)에 대해,
$$
H = I - 2\frac{vv^{\mathrm{T}}}{v^{\mathrm{T}}v}
$$
(실수 경우) 혹은
$$
H = I - 2\frac{vv^{}}{v^{}v}
$$
(복소수 경우) 로 정의한다. 여기서 $I$는 $n \times n$ 항등행렬, $v^{\mathrm{T}}$는 전치, $v^{*}$는 켤레 전치이다.
$H$는 다음과 같은 성질을 가진다.
- 직교성(또는 유니터리성): $H^{\mathrm{T}}H = HH^{\mathrm{T}} = I$ (실수), $H^{}H = HH^{} = I$ (복소수).
- 대칭성: $H^{\mathrm{T}} = H$ (실수), $H^{*} = H$ (복소수).
- 반사 연산: 임의의 벡터 $x$에 대해 $Hx$는 $v$가 정의하는 초평면에 대해 대칭된 벡터가 된다.
활용 예시
| 분야 | 적용 예시 |
|---|---|
| QR 분해 | 행렬 $A$의 각 열을 차례로 영벡터가 되도록 하는 하우스홀더 변환을 적용해 $A = QR$ 형태로 분해한다. |
| 고유값 문제 | 트리시미트(Tridiagonal) 형태로 변환하기 위해 대칭 행렬에 하우스홀더 반사를 반복 적용한다. |
| 최소제곱 문제 | 정규 방정식 대신 하우스홀더 기반 QR 분해를 이용해 수치적 안정성을 높인다. |
| 컴퓨터 그래픽 | 벡터 반사를 이용해 물체의 대칭 변환을 구현한다. |
계산 복잡도
하우스홀더 변환 하나를 적용하는 데는 $O(n^2)$ 연산이 필요하며, QR 분해 전체 과정은 $O(n^3)$의 복잡도를 가진다. 이는 가우스 소거법과 동일하지만, 수치적 안정성이 높다.
역사·어원
하우스홀더 변환은 미국의 수학자 윌리엄 로웰 하우스홀더(William R. Householder, 1903‑1998)에 의해 제안되었다. 그는 1958년에 발표한 논문에서 행렬의 대칭 반사를 이용한 효율적인 직교화 방법을 소개했으며, 이후 수치선형대수 분야에서 널리 채택되었다.
관련 개념
- 하우스홀더 리플렉터(Householder reflector): 위에서 정의한 행렬 $H$ 자체를 가리키는 용어.
- Givens 회전(Givens rotation): 두 차원만을 선택적으로 회전시키는 직교 변환으로, 하우스홀더 변환과 유사하게 행렬 분해에 사용된다.
- 반사 행렬(reflection matrix): 일반적으로 대칭적인 직교 행렬을 의미한다.
참고 문헌
- Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
- Householder, W. R. (1958). The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Dover Publications.
(위 내용은 선행 연구와 교과서에 근거한 객관적 정보이며, 현재까지 공인된 자료에 기반한다.)