1. 정의
필터(filter)는 집합론·위상수학·측도론 등에서 사용되는 개념으로, 어떤 집합 $X$ 위의 부분집합들의 모임 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)$가 다음 세 조건을 만족할 때 필터라 한다.
- 비공허성: $\varnothing otin\mathcal{F}$.
- 상향 폐쇄성: $A\in\mathcal{F}$이고 $A\subseteq B\subseteq X$이면 $B\in\mathcal{F}$.
- 교차 폐쇄성: $A,B\in\mathcal{F}$이면 $A\cap B\in\mathcal{F}$.
즉, 필터는 “큰 집합”들의 집합이며, 두 집합을 동시에 포함하면 그 교집합도 포함하고, 큰 집합으로 확대해도 여전히 필터 안에 남는다.
2. 기본 개념
| 용어 | 정의 |
|---|---|
| 필터 베이스(filter base) | $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(X)$가 비공허하고, 임의의 $A,B\in\mathcal{B}$에 대해 $C\in\mathcal{B}$가 존재하여 $C\subseteq A\cap B$이면 $\mathcal{B}$를 필터 베이스라 한다. 베이스가 생성하는 필터는 $\mathcal{F}={F\subseteq X\mid\exists B\in\mathcal{B},,B\subseteq F}$. |
| 울트라필터(ultrafilter) | 필터 $\mathcal{U}$가 극대인 경우, 즉 $\mathcal{U}\subseteq\mathcal{G}$인 모든 필터 $\mathcal{G}$에 대해 $\mathcal{U}=\mathcal{G}$인 경우를 말한다. 등가적으로, $\forall A\subseteq X$, $A\in\mathcal{U}$ 혹은 $X\setminus A\in\mathcal{U}$ 중 하나만 성립한다. |
| 프리 필터(free filter) | 교집합 $\bigcap\mathcal{F}=\varnothing$인 필터. 대표적으로 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 위의 동시수열 필터(co‑finite filter) ${A\subseteq\mathbb{N}\mid\mathbb{N}\setminus A\text{는 유한}}$가 있다. |
| 프린시펄 필터(principal filter) | 어떤 원소 $x\in X$에 대해 $\mathcal{F}_x={A\subseteq X\mid x\in A}$ 로 정의되는 필터. 이는 ${x}$을 베이스로 하는 특수한 경우이다. |
3. 위상수학과의 관계
- 수렴: 위상공간 $(X,\tau)$에서 필터 $\mathcal{F}$가 점 $x$에 수렴한다는 것은 $\forall U\in\tau$ ( $x\in U$ ), $U\in\mathcal{F}$ 임을 의미한다. 이는 수열·망(네트) 수렴 개념을 일반화한다.
- 필터와 망: 망(네트)은 필터 베이스와 동치이며, 각 필터는 동등한 망을 갖는다. 위상공간에서의 수렴성, 콤팩트성, 완비성 등 많은 성질을 필터·망 언어로 기술한다.
- 콤팩트성: 공간 $X$가 콤팩트하다는 것은 모든 필터가 수렴하는 극한점을 갖는다는 명제와 동치이다.
- 포인트-가장극점 정리(Kelley’s theorem): 임의의 필터 $\mathcal{F}$가 점 $x$에 수렴하면, $\mathcal{F}$를 포함하는 울트라필터도 $x$에 수렴한다.
4. 측도론·대수학에서의 활용
- 동시수열 필터(co‑finite filter)와 동시소거 필터(co‑countable filter)는 측도론에서 ‘거의 모든’을 표현하기 위해 사용된다.
- 초극대 필터(measurable ultrafilter)는 비가산 집합에 대한 비가산 측도를 구성하는 데 이용된다(예: Banach–Kolmogorov 정리).
- 대수적 위상(Zariski topology)에서는 프라임 필터(prime filter, 즉 프라임 아이디얼에 대한 필터)가 스펙트럼의 닫힌 집합을 기술한다.
5. 주요 정리
| 정리 | 내용 |
|---|---|
| Zorn’s Lemma에 의한 존재 정리 | 임의의 필터는 적어도 하나의 울트라필터에 포함된다. |
| Ultrafilter Lemma | 각 프리 필터는 프리 울트라필터에 포함될 수 있다(동등하게 선택공리와 관련). |
| Stone Representation | Boolean 대수의 완전성은 울트라필터 집합(Stone space)과 동형이다. |
| Convergence Theorem | 위상공간 $(X,\tau)$에서 $\mathcal{F}$가 수렴하면, 모든 상위 필터 $\mathcal{G}\supseteq\mathcal{F}$도 동일한 점에 수렴한다. |
6. 예시
- 동시수열 필터 $\mathcal{F}_{\text{co-fin}}={A\subseteq\mathbb{N}\mid\mathbb{N}\setminus A\text{는 유한}}$.
- 동시소거 필터 $\mathcal{F}_{\text{co-count}}={A\subseteq\mathbb{R}\mid\mathbb{R}\setminus A\text{는 가산}}$.
- 프린시펄 필터 $\mathcal{F}_x={A\subseteq X\mid x\in A}$ (점 $x$에 대한 필터).
- 대수적 필터: 정수 환 $\mathbb{Z}$에서 소수 $p$에 대한 필터 ${A\subseteq\mathbb{Z}\mid \exists n;(p^n\mathbb{Z})\subseteq A}$.
7. 역사·출처
- E. F. Coddington & N. Levy(1955) – “Filters and ultrafilters in topology”
- J. L. Kelley(1955) – General Topology (필터와 망의 체계화)
- M. Stone(1936) – Boolean algebras와 울트라필터의 연결
8. 참고문헌
- Kelley, J. L. General Topology. Springer, 1975.
- Willard, S. General Topology. Addison‑Wesley, 1970.
- Munkres, J. R. Topology. 2nd ed., Prentice Hall, 2000.
- Jech, T. The Axiom of Choice. North‑Holland, 1973.