프리스 전송 공식(Friis transmission formula)은 통신공학에서 사용되는 식으로, 일정 거리 떨어진 곳에서 알려진 양의 전력을 전송하는 안테나가 있을 때, 이상적인 조건 하에서 수신 안테나 단자에 도달하는 전력을 입사파의 전력 밀도와 수신 안테나의 실효 개구 면적의 곱으로 나타낸 것이다. 이 공식은 프리스 전송 방정식(Friis transmission equation)이라고도 불린다.
역사
이 공식은 1946년 덴마크계 미국인 무선 공학자 해럴드 T. 프리스(Harald T. Friis, 1893~1976)에 의해 처음 발표되었다. 프리스는 당시 벨 연구소(Bell Labs)에서 근무하고 있었다.
정의 및 공식
프리스가 처음 발표한 원래 공식은 안테나의 지향성이나 이득 대신 안테나의 실효 개구 면적(effective aperture)을 사용하여 다음과 같이 표현된다.
$$ \frac{P_r}{P_t} = \left( \frac{A_r A_t}{d^2 \lambda^2} \right) $$
여기서:
- $P_t$: 송신 안테나 입력 단자에 공급되는 전력
- $P_r$: 수신 안테나 출력 단자에서 얻을 수 있는 전력
- $A_t$: 송신 안테나의 실효 개구 면적
- $A_r$: 수신 안테나의 실효 개구 면적
- $d$: 안테나 사이의 거리
- $\lambda$: 무선 주파수의 파장
현대에는 안테나의 성능을 나타내는 지표로 이득(gain)이 더 널리 사용되며, 이에 따라 공식은 다음과 같이 변형되어 사용된다.
$$ \frac{P_r}{P_t} = G_t G_r \left( \frac{\lambda}{4\pi d} \right)^2 $$
여기서 $G_t$와 $G_r$은 각각 송신 및 수신 안테나의 등방성 복사체 대비 안테나 이득이다. 데시벨(dB) 단위로 표현하면 다음과 같다.
$$ P_r[\text{dB}] = P_t[\text{dB}] + G_t[\text{dBi}] + G_r[\text{dBi}] + 20\log_{10}\left( \frac{\lambda}{4\pi d} \right) $$
적용 조건
이 공식은 다음 조건 하에서 적용된다.
- 안테나 간 거리 $d$가 파장 $\lambda$에 비해 충분히 커서(d ≫ λ) 각 안테나가 서로의 원거리장(far-field)에 있어야 한다.
- 안테나가 올바르게 정렬되어 있고 동일한 편파(polarization)를 가져야 한다.
- 장애물이 없는 자유 공간(free space) 환경이어야 하며, 다중 경로 전파가 없어야 한다.
- 대역폭이 충분히 좁아 단일 파장 값을 사용할 수 있어야 한다.
응용 분야
이 공식은 무선 통신 시스템의 링크 버짓(link budget) 설계에서 송수신 간의 경로 손실을 계산하는 기본 도구로 사용된다. 특히 이상적인 조건에 가까운 위성 통신에서 정확도가 높으며, 그 외에도 무향실(anechoic chamber) 내부 측정, 이동 통신, Wi-Fi 등 다양한 무선 시스템의 초기 설계 단계에서 활용된다.
한계
실제 지상 통신 환경에서는 건물, 지형, 지면 반사 등의 영향으로 인해 이상적 조건이 충족되기 어려우므로, 이 공식은 이상적인 자유 공간 경로 손실의 추정치를 제공한다. 또한 폴 재피(Paul Jaffe) 등은 프리스 방정식이 무선 전력 전송(wireless power transmission) 분야에 적용될 경우, 특정 조건에서 송신 전력보다 더 많은 전력이 수신될 수 있다는 비정상적 결과를 도출할 수 있음을 지적하였다. 이러한 경우 관련 방정식인 구바우(Goubau) 관계식이 더 유용할 수 있다.
