프라티니 부분군(Frattini部分群, 영어: Frattini subgroup)은 군론에서 어떤 군의 "매우 작은" 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, "너무 작아서" 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다. 기호로는 Φ(G)로 표기한다.
정의
군 G의 부분군들의 완비 격자에서, G 자신을 제외한 부분군들의 극대 원소(즉, 극대 진부분군)들의 집합을 생각한다. 이 집합이 공집합일 수도 있다. 프라티니 부분군 Φ(G)는 다음 두 조건을 만족하는 부분집합으로 정의되며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
- G의 모든 극대 진부분군들의 교집합. 만약 극대 진부분군이 존재하지 않는다면 Φ(G)=G로 정의한다.
- G의 비생성원(非生成元, non-generating element)들의 집합. 여기서 비생성원이란, 어떤 부분집합 S가 G를 생성할 때 S에 포함되어 있어도 S에서 제거해도 여전히 G를 생성하는 원소를 말한다. 즉, 군을 생성할 때 불가결하지 않은 원소이다.
성질
- 프라티니 부분군은 항상 G의 정규 부분군이다. 이는 극대 진부분군의 집합이 G의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이기 때문이며, 특히 켤레 사상에 대해서도 불변이므로 정규 부분군이 된다.
- G가 유한군이면, 그 프라티니 부분군은 멱영군(冪零群, nilpotent group)이다.
- 임의의 군 G와 유한 정규 부분군 N ⊲ G에 대하여, Φ(N) ≤ Φ(G)가 성립한다.
- 임의의 두 유한군 G, H에 대하여, Φ(G × H) = Φ(G) × Φ(H)가 성립한다.
p-군에서의 성질
번사이드 기저 정리(Burnside basis theorem)에 따르면, 임의의 유한 p-군 G에 대하여 다음이 성립한다.
- Φ(G) = G^p G^(1). 여기서 G^p는 G의 원소의 p제곱들로 생성된 부분군이며, G^(1)은 교환자 부분군(commutator subgroup)이다.
- [G : Φ(G)] = p^r이라 할 때, G의 임의의 극소 생성 집합의 크기는 r이다.
예시
- 크기 8의 정이면체군 Dih(4)의 프라티니 부분군은 세 개의 극대 진부분군들의 교집합인 {F, Ⅎ}이다.
- 초특별군(extra-special group)의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.
극대 진부분군이 없는 군의 경우
유리수체의 덧셈군 (ℚ, +)은 극대 진부분군을 갖지 않으므로, 그 프라티니 부분군은 ℚ 전체이다. 자명군(trivial group) 역시 마찬가지이다.
역사
이탈리아의 수학자 조반니 프라티니(Giovanni Frattini, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다. 프라티니는 그의 논문에서 프라티니 부분군의 두 정의(극대 진부분군들의 교집합과 비생성원들의 집합)가 서로 동치임을 증명하였다.
