푸페 완전열(Puppe完全列, 영어: Puppe exact sequence)은 호모토피 이론에서, 어떤 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열이다. 독일의 수학자 디터 푸페(Dieter Puppe, 1930~2005)가 도입한 개념으로, 위상수학의 위상공간과 연속 함수 사이의 구조적 관계를 다루는 데 사용된다.
정의 개요
두 점을 가진 공간 (X, ∙X), (Y, ∙Y) 사이의 점을 보존하는 연속 함수 f: X → Y가 주어졌다고 할 때, 사상뿔(mapping cone) Cf와 사상올(mapping fiber) Mf를 정의할 수 있다. 사상뿔과 사상올은 각각 쌍대올뭉치와 올뭉치 조건 아래에서 기존의 올과 쌍대올에 호모토피 동치로 대응한다.
이를 바탕으로 축소 고리 공간(loop space) Ω와 축소 현수(reduced suspension) Σ의 함자성을 이용하면 다음 형태의 무한히 긴 호모토피 완전열을 얻을 수 있다:
⋯ → Ω²X → Ω²Y → ΩMf → ΩX → ΩY → Mf → X → Y
그리고 반대 방향으로,
X → Y → Cf → ΣX → ΣY → ΣCf → Σ²X → ⋯
이 두 종류의 긴 완전열을 통틀어 푸페 완전열이라고 한다. 여기서 "호모토피 완전열"이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 상수 함수와 호모토픽함을 뜻한다.
호모토피 군으로의 응용
푸페 완전열에서 성분별 0차 호모토피 군을 취하면, πn(X) = π0(ΩⁿX)의 관계를 통해 군의 완전열을 얻을 수 있다. 특히 X가 Y의 (점을 공유하는) 부분 공간인 경우, 사상올의 호모토피 군이 상대 호모토피 군과 동형임이 성립하여, 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열과 동일한 형태를 갖는다. 이는 호모토피 군 사이의 긴 완전열(long exact sequence of homotopy groups)을 구성하는 대표적인 방법으로 사용된다.
배경
푸페 완전열은 호모토피 이론에서 위상공간 사이의 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열을 체계적으로 구성하는 도구로, 대수적 위상수학의 여러 분야에서 활용되는 표준적인 개념이다. 이 개념의 정립은 디터 푸페의 위상수학, 특히 호모토피 이론에 대한 기여의 일부로 평가된다.
