푸앵카레 군(Poincaré group)은 민코프스키 공간(Minkowski spacetime)의 대칭군으로, 특수 상대성 이론에서 시공간의 완전한 대칭성을 나타내는 수학적 구조이다. 프랑스의 수학자이자 물리학자인 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)의 이름을 따 명명되었다.
정의
푸앵카레 군은 로런츠 변환과 시공간 병진 변환(translation)을 모두 포함하는 변환들의 집합으로, 로런츠 군 SO(3,1)과 4차원 병진군 R⁴의 반직접곱(semi-direct product)으로 정의된다. 기호로는 보통 ISO(3,1)로 표기하며, 이는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자이다.
일반적인 푸앵카레 변환은 시공간 좌표 x^μ에 대해 다음과 같이 작용한다:
x'^μ = Λ^μ_ν x^ν + a^μ
여기서 Λ^μ_ν는 로런츠 변환, a^μ는 시공간 병진 벡터이다. 즉, 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 4차원 병진 변환의 합성으로 이해할 수 있다.
구조와 차원
푸앵카레 군은 총 10차원의 리 군(Lie group)이다. 구체적으로 다음과 같은 생성 요소들로 구성된다:
- 공간 회전 3방향
- 로런츠 부스트(속도 변환) 3방향
- 공간 병진 3방향
- 시간 병진 1방향
푸앵카레 군은 비아벨(non-abelian) 리 군이며, 민코프스키 공간의 계량 텐서 η_μν가 정의하는 시공간 간격 (ct)² - x² - y² - z²을 보존한다.
리 대수
푸앵카레 군의 리 대수는 병진 생성자 P_μ와 로런츠 생성자 M_μν로 기술되며, 이들 사이의 교환 관계는 다음과 같다:
- [P_μ, P_ν] = 0
- [M_μν, P_ρ] = i(η_μρ P_ν - η_νρ P_μ)
- [M_μν, M_ρσ] = i(η_μρ M_νσ - η_μσ M_νρ - η_νρ M_μσ + η_νσ M_μρ)
물리학적 의의
푸앵카레 군은 특수 상대성 이론의 완전한 시공간 대칭군으로, 로런츠 대칭성에 병진 대칭성을 추가한 것이다. 양자장론에서 입자의 분류는 푸앵카레 군의 군 표현론, 특히 위그너 분류(Wigner classification)에 기반한다. 질량이 없는 입자의 경우 푸앵카레 군은 등각군(conformal group)의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 등각군은 15개의 생성자로 기술된다.
푸앵카레 군의 두 개의 카시미르 연산자(Casimir operator)로는 질량 제곱에 해당하는 P^μ P_μ와 파울리-루반스키 벡터(Pauli-Lubanski vector) W_μ의 제곱 W^μ W_μ가 있으며, 이들은 다른 모든 연산자와 교환된다.
역사
헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)가 1908년에 민코프스키 공간의 등거리 변환군으로서 이 군을 처음 정의하였다. 앙리 푸앵카레 자신은 푸앵카레 군 자체를 직접 다루지는 않았으나, 1905년에 로런츠 변환이 군을 이룬다는 사실을 보였으며, 그의 업적을 기려 이 군에 그의 이름이 붙여졌다.
