푸아송 분포(Poisson distribution)는 확률론에서 단위 시간이나 단위 공간과 같은 일정한 구간 안에서 어떤 특정 사건이 몇 번 발생할 것인지를 나타내는 이산 확률 분포이다. 프랑스의 수학자 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson)의 이름에서 유래하였으며, 표기에 따라서 '포아송 분포'라고도 불린다.
정의
정해진 구간 안에서 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 λ(람다)라고 할 때, 그 사건이 정확히 k회 일어날 확률은 다음과 같은 확률 질량 함수로 표현된다.
f(k; λ) = (λ^k · e^(-λ)) / k!
여기서 e는 자연상수이다. λ는 0보다 큰 실수이며, 0 이상의 정수에 대해서만 정의된다. 확률 변수가 푸아송 분포를 따를 때 기댓값과 분산은 모두 λ로 동일하다는 특징이 있다.
역사
시메옹 드니 푸아송은 1837년에 저서 《민사 사건과 형사 사건 재판에서의 확률에 관한 연구 및 일반적인 확률 계산 법칙에 대한 서문》(프랑스어: Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile)에서 이 분포를 처음 소개하였다.
기본 가정
푸아송 분포가 적용되기 위해서는 다음과 같은 조건이 충족되어야 한다.
- 특정 단위 구간을 더 작은 단위의 구간으로 나눌 수 있으며, 각 작은 구간에서 사건이 발생할 확률은 항상 일정해야 한다.
- 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 매우 작아야 한다.
- 한 구간에서의 사건 발생은 다른 구간에서의 사건 발생과 독립적이어야 한다.
- 특정 구간에서 사건이 발생할 확률은 그 구간의 크기에 비례해야 한다.
이항 분포와의 관계
푸아송 분포는 시행 횟수 n이 충분히 크고 성공 확률 p가 충분히 작아서 np의 값이 적당할 때 이항 분포의 근사로 나타낼 수 있다. 일반적으로 n이 100 이상이고 np가 10 이하인 경우 푸아송 분포를 통한 근사가 유효한 것으로 알려져 있다. 이 관계는 이항 분포의 확률 생성 함수에서 n을 무한대로 보내는 극한 과정을 통해 수학적으로 유도된다.
응용 분야
푸아송 분포는 다음과 같은 다양한 상황을 모델링하는 데 사용된다.
- 일정 시간 동안 도착하는 고객의 수
- 일정 기간 동안 발생하는 불량품의 수
- 하룻동안 발생하는 출생아 수
- 특정 시간 동안 톨게이트를 통과하는 차량의 수
- 특정 면적의 삼림에서 발견되는 특정 종의 나무 수
- 특정 진도 이상의 지진이 발생하는 횟수
- 일정량의 방사선에 노출된 DNA에서 발생하는 돌연변이의 수
적용상의 한계
푸아송 분포의 기본 가정이 성립하지 않는 상황에서는 분포의 적용이 적절하지 않을 수 있다. 예를 들어, 사건 발생 비율이 시간에 따라 일정하지 않거나, 사건들 사이에 상호 의존성이 존재하는 경우에는 푸아송 분포가 실제 현상을 정확히 설명하지 못할 수 있다. 이러한 경우 영과잉(zero-inflated) 모델이나 절단(truncated) 푸아송 분포와 같은 변형 모델이 사용되기도 한다.
