푸아송 괄호(Poisson bracket)는 해밀턴 역학(Hamiltonian mechanics)에서 사용되는 중요한 이항 연산자(binary operation)이다. 프랑스의 수학자이자 물리학자인 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson, 1781~1840)이 1809년 자신의 역학 논문에서 처음 도입하였다.
정의
일반화 좌표 $(q_i, p_i, t)$에서 정의된 두 함수 $F(q_i, p_i, t)$와 $G(q_i, p_i, t)$에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.
$$ {F, G} = \sum_i \left[ \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i} \right] $$
(문헌에 따라 부호 규약이 반대인 정의가 사용되기도 한다.)
기본 성질
푸아송 괄호는 다음과 같은 수학적 성질을 만족한다.
- 반대칭성(Anticommutativity): ${A, B} = -{B, A}$
- 쌍선형성(Bilinearity): ${aA + bB, C} = a{A, C} + b{B, C}$
- 라이프니츠 규칙(Leibniz rule): ${AB, C} = {A, C}B + A{B, C}$
- 야코비 항등식(Jacobi identity): ${A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0$
정준 좌표 사이의 푸아송 괄호
일반화 좌표와 일반화 운동량 사이의 기본적인 푸아송 괄호 관계는 다음과 같다.
$$ {q_i, q_j} = 0, \quad {p_i, p_j} = 0, \quad {q_i, p_j} = \delta_{ij} $$
여기서 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.
해밀턴 방정식과의 관계
푸아송 괄호를 이용하면 해밀턴 방정식을 다음과 같이 대칭적인 형태로 표현할 수 있다.
$$ \dot{q}_i = {q_i, H}, \quad \dot{p}_i = {p_i, H} $$
또한 위상 공간에서 임의의 물리량 $F$의 시간 변화는 다음과 같이 주어진다.
$$ \frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial t} + {F, H} $$
만약 물리량 $F$가 시간에 직접 의존하지 않고($\partial F/\partial t = 0$) 해밀토니안 $H$와의 푸아송 괄호가 0이면(${H, F} = 0$), 그 물리량은 운동 상수(보존량)가 된다.
의의와 확장
푸아송 괄호는 고전역학에서 정준 변환(canonical transformation)을 판별하는 기준으로 사용되며, 위상 공간 위의 함수들로 이루어진 푸아송 대수(Poisson algebra)를 정의하는 데 쓰인다. 더 일반적으로는 푸아송 다양체(Poisson manifold) 위에서 정의되는 푸아송 대수의 개념으로 확장된다.
푸아송 괄호는 양자역학에서의 교환자(commutator)와 밀접한 관계를 가지며, 이는 디랙(Paul Dirac)이 지적한 고전역학과 양자역학 사이의 중요한 연결 고리이다. 고전역학에서의 푸아송 괄호 ${A, B}$는 양자역학에서 교환자 $[ \hat{A}, \hat{B} ] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$에 대응되며, 이는 $i\hbar$를 곱한 형태로 대응된다(${A, B} \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]$).
