정의
표준 순서(標準順序, 영어: normal order)는 양자장론에서 사용되는 연산자 재정렬 규칙으로, 윅 순서(Wick order)라고도 한다. 여러 개의 생성 연산자와 소멸 연산자의 곱을, 생성 연산자가 소멸 연산자의 왼쪽에 오도록 정렬하는 과정을 말한다. 이 개념은 윅 정리(Wick's theorem)에 사용되며, 기호로는 $N[\cdots]$ 또는 $:\cdots:$로 표기한다. 이러한 표기에서 콜론 기호는 정규 순서화된 연산자 곱을 나타낸다.
보손의 표준 순서
보손(보존)의 경우 표준 순서 계산은 비교적 단순하다. 생성 연산자를 $a^\dagger$, 소멸 연산자를 $a$라고 할 때, 둘의 곱을 표준 순서화하면 다음과 같다.
$$ :a^\dagger a := a^\dagger a $$ $$ :aa^\dagger := a^\dagger a $$
둘 이상의 연산자를 곱하는 경우에도 동일한 원리가 적용된다. 예를 들어, $$ :aa^\dagger aaa^\dagger a^\dagger := (a^\dagger)^3 a^3 $$ 과 같이 모든 생성 연산자를 소멸 연산자의 왼쪽으로 옮긴다. 여러 종의 보손이 존재하는 경우, 서로 다른 종의 생성·소멸 연산자는 종에 관계없이 교환 가능하므로 종 사이의 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.
페르미온의 표준 순서
페르미온(페르미온)의 경우는 페르미-디랙 통계(Fermi-Dirac statistics)에 따라 연산자 교환 시 −1의 부호 인자가 발생하므로 계산이 더 복잡하다. 정의는 다음과 같다.
$$ :a^\dagger a := a^\dagger a $$ $$ :aa^\dagger := -a^\dagger a $$
둘 이상의 연산자를 곱할 경우, 연산자를 교환한 횟수(즉, 순열의 부호)에 따라 −1을 곱한다.
윅 정리와의 관계
윅 정리는 다수의 장 연산자 곱을 모든 가능한 축약(contraction) 쌍과 표준 순서화된 연산자 곱의 합으로 분해한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \phi_{i_1}(x_1)\cdots\phi_{i_N}(x_N) = \sum_{\text{all possible pairs of contractions}} :\phi_{i_1}(x_1)\cdots\phi_{i_N}(x_N): $$
윅 정리는 연산자의 진공 기댓값(vacuum expectation value)을 계산하는 간단한 방법을 제공하며, 이 과정에서 표준 순서가 핵심적인 역할을 한다. 표준 순서화된 연산자의 진공 기댓값은 0이 된다는 성질을 이용하여 계산을 단순화한다.
응용
표준 순서는 양자장론의 산란이론(perturbation theory)과 경로 적분 등에서 널리 활용된다. 물리학자 프랭크 맨들(F. Mandl)과 G. 쇼(G. Shaw)의 《Quantum Field Theory》(1984) 및 스티븐 와인버그(S. Weinberg)의 《The Quantum Theory of Fields》(1995) 등 표준 교재에서 다루어지고 있다.
일상적 용법
한편 "표준 순서"라는 표현은 물리학의 전문 용어 외에도 일반적으로 "정해진 기준에 따른 차례" 곧 '표준적인 순서'라는 일상적 의미로 쓰이기도 한다. 다만 이 경우는 특정 학술적 개념이라기보다 일반적인 단어 결합에 해당한다.
