정의
폰 망골트 함수(영: von Mangoldt function)는 정수 $n$에 대해 다음과 같이 정의되는 산술 함수 $\Lambda(n)$이다.
$$ \Lambda(n)= \begin{cases} \log p & \text{if } n = p^{k}\ \text{for a prime } p \text{ and integer } k\ge 1,$$4pt] 0 & \text{otherwise}. \end{cases} $$
즉, $n$이 소수의 거듭제곱이면 그 소수의 자연로그 값을, 그 외의 경우엔 0을 반환한다.
주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 지수적 합 | $\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n$ (모든 약수 $d$에 대한 합) |
| 디리클레 급수 | $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}} = -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ (실제 실수부 $\Re(s)>1$에서 수렴) |
| 체비쉐프 함수와의 관계 | $\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$는 체비쉐프 함수이며, 소수정리와 직접 연결된다. |
| 평균값 | $\displaystyle \sum_{n\le x}\Lambda(n)=x+O!\left(x,e^{-c\sqrt{\log x}}\right)$ (소수정리와 동치인 식) |
| 완전곱성 | $\Lambda$는 완전곱 함수는 아니지만, $\Lambda(p^{k})=\log p$와 같이 소수 거듭제곱에만 비제로 값을 가진다. |
역사·어원
- Hans von Mangoldt(1854‑1925)는 독일의 수학자로, 1905년에 소수정리의 증명에 사용된 $\psi(x)$ 함수를 도입하였다. 이와 연관된 $\Lambda(n)$을 현재와 같은 형태로 명명하고 연구하였다.
- 한국어 표기는 영문 표기의 발음에 따라 “폰 망골트 함수”로 번역된다.
수학적 활용
-
소수정리
$$ \psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)=x+o(x) \quad (x\to\infty) $$ 위 식은 소수정리의 등가 형태 중 하나이며, $\Lambda$를 이용한 증명은 복소수해석법(리만 제타 함수)을 핵심으로 한다. -
리만 제타 함수
$$ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{s}} $$ 이 관계는 $\Lambda$가 제타 함수의 로그 미분과 직접 연결됨을 보여 주며, 제타 함수의 영점 분석에 필수적이다. -
산술함수의 변환
멱함수와 곱함수 등과 결합해 다양한 산술적 평균값을 구하거나, 대수적 정리(예: Mertens 정리)와 연계된다.
관련 함수
- 체비쉐프 함수 $\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n)$
- 리우빌 함수 $\vartheta(x)=\sum_{p\le x}\log p$ (소수에 대한 부분합)
- 디리클레 곱 $\mu(n)$와의 컨볼루션: $\Lambda = \log * \mu$ (여기서 $*$는 Dirichlet convolution)
참고문헌
- T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.
- H. von Mangoldt, “Ein Beitrag zur Primzahlenfunktion,” Mathematische Annalen 56 (1905): 389‑416.
- G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008.
폰 망골트 함수는 현대 정수론 및 해석적 수론에서 핵심적인 도구로, 소수의 분포를 정밀하게 기술하는 데 사용된다.
