폰 노이만 대수(von Neumann algebra)는 수학의 함수해석학 분야에서 다루어지는 작용소 대수의 한 종류이다. 힐베르트 공간 위에 작용하는 유계 작용소들로 이루어진 -대수 가운데, 약한 작용소 위상(weak operator topology)에 대하여 닫혀 있고 항등 작용소를 포함하는 대수를 가리킨다. 폰 노이만 대수는 C 대수의 특수한 경우로 볼 수 있다.
폰 노이만 대수의 정의는 추상적인 방식과 구체적인 방식 두 가지로 제시될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치인 것으로 알려져 있다.
추상적으로는, 어떤 복소수 바나흐 공간 V의 연속 쌍대 공간 V와 등거리 복소수 선형 전단사 함수로 동형이 되는 C 대수를 폰 노이만 대수라고 정의한다. 이때 V를 폰 노이만 대수의 원쌍대 공간(predual)이라고 하며, 이러한 원쌍대 공간은 동형 아래에서 유일하다.
구체적으로는, 복소수 힐베르트 공간 H 위의 유계 작용소 전체의 집합 B(H)의 부분 *-대수 A가 주어졌을 때, A의 가환자(commutant) A′을 정의할 수 있다. A의 이중 가환자 A″가 A 자신과 같을 때, 즉 A = A″가 성립할 때 A를 폰 노이만 대수라고 한다. 이는 폰 노이만의 이중 가환자 정리(double commutant theorem)에 따라, A가 약한 작용소 위상 또는 강한 작용소 위상에서 닫혀 있음과 동치이다.
폰 노이만 대수의 대표적인 예로는 임의의 힐베르트 공간 H에 대한 전체 유계 작용소 대수 B(H), 그리고 시그마 유한 측도 공간 X 위의 복소수 값 르베그 공간 L∞(X)가 있다. 또한 셔먼-다케다 정리에 따르면, 임의의 C* 대수의 이중 연속 쌍대 공간은 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다.
폰 노이만 대수의 분류와 관련하여, 중심이 복소수체와 동형인 폰 노이만 대수를 폰 노이만 인자(von Neumann factor)라고 한다. 모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분으로 나타낼 수 있으며, 인자 대수의 분류는 유형 I, II, III으로 나뉘는 체계가 상당 부분 확립되어 있다.
폰 노이만 대수의 개념은 존 폰 노이만(John von Neumann)이 단일 작용소의 연구, 군 표현론, 에르고드 이론, 양자역학과 관련된 연구에서 처음 도입하였다. 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리(Francis Joseph Murray)가 1930년대부터 1940년대에 걸쳐 "On rings of operators"라는 일련의 논문에서 기초적인 이론을 체계적으로 발전시켰다. 폰 노이만 대수의 추상적 정의는 사카이 쇼이치로(Shoichiro Sakai)가 도입한 것으로 알려져 있다. 이후 알랭 콘(Alain Connes)과 본 존스(Vaughan Jones) 등이 이론의 발전에 크게 기여하였다.
폰 노이만 대수는 양자역학의 수학적 기초, 양자장론의 대수적 정식화, 비가환 기하학 등 다양한 수학 및 물리학 분야에서 응용된다.
