정의
포물선 운동(抛物線運動, parabolic motion / projectile motion)이란 중력장이 존재하는 환경에서 물체를 투사했을 때, 물체가 포물선 궤적을 그리며 운동하는 것을 말한다. 일반적으로 지표면에서 운동하는 물체의 운동을 뜻하며, 대표적인 2차원 운동이다.
역사
1638년, 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)가 저서 『Two New Sciences』에서 수평 운동과 수직 운동이 서로 독립적이라는 '합성 운동(compound motion)의 원리'를 제창하며 포물선 운동을 수학적으로 최초로 설명하였다.
기본 가정
- 중력 가속도는 높이와 관계없이 일정하며, 방향은 연직 아래이다.
- 공기 저항을 포함한 모든 마찰은 무시한다.
운동의 분해
포물선 운동은 다음 두 운동의 합성으로 이해할 수 있다.
| 방향 | 운동 종류 | 가속도 | 특징 |
|---|---|---|---|
| 수평(x축) | 등속도 운동 | $a_x = 0$ | 수평 방향 속도는 일정하게 유지된다. |
| 수직(y축) | 등가속도 운동(자유낙하) | $a_y = -g$ | 중력에 의해 연직 속도가 일정하게 변한다. |
주요 물리량 및 공식
초기 속도 $v_0$, 발사 각도 $\theta$일 때:
1. 속도 성분
- $v_x = v_0 \cos\theta$ (일정)
- $v_y = v_0 \sin\theta - gt$
2. 위치(변위)
- $x = v_0 t \cos\theta$
- $y = v_0 t \sin\theta - \dfrac{1}{2}gt^2$
3. 궤도 방정식
$$ y(x) = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta} $$
4. 포물선 운동 시간 (수평면 도달)
$$ T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} $$
5. 수평 도달 거리 (사거리, Range)
$$ R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} $$
- 최대 수평 도달 거리는 발사각 45°일 때 얻어진다.
- $\theta + \theta' = 90^\circ$인 두 각으로 던지면 수평 도달 거리가 같다.
6. 최고점 높이
$$ H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g} $$
주요 특징
- 수평 성분과 수직 성분은 서로 독립적이다.
- 최고점에서 물체의 속도는 수평 성분만 남는다($v_y = 0$).
- 역학적 에너지가 보존되므로, 발사 지점과 같은 높이로 돌아왔을 때 속력은 초기 속력과 같다.
- 공기 저항을 고려하면 궤적은 대칭성을 잃고 수평 도달 거리가 감소한다.
심화: 공기 저항을 고려한 경우
공기 저항이 속도에 비례한다고 가정(저항력 $= -mk\mathbf{v}$)하면 운동 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} m\ddot{x} &= -mk \dot{x} \ m\ddot{y} &= -mg - mk \dot{y} \end{aligned} $$
이를 풀면 위치는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} x &= \frac{V}{k}(1 - e^{-kt}) \quad (V = v_0\cos\theta) \ y &= -\frac{gt}{k} + \frac{kW + g}{k^2}(1 - e^{-kt}) \quad (W = v_0\sin\theta) \end{aligned} $$
공기 저항 계수 $k$가 클수록 수평 도달 거리는 줄어든다.
같이 보기
- 등가속도 운동
- 자유낙하 운동
- 원운동
- 중력
- 궤도 운동 (타원 궤도)
참고 문헌
- Galileo Galilei, Two New Sciences, Leiden, 1638, p.249
- Serway, R. A., 대학물리학
