포물선(抛物線, 영어: parabola)은 이차 곡선의 일종으로, 평면상의 한 정직선과 하나의 정점에 이르는 거리가 같은 점들의 집합(자취)이다. 이때 정직선을 준선(準線, directrix), 정점을 초점(焦點, focus)이라고 한다. 포물선은 원뿔 곡선(conic section)의 하나로, 원뿔을 그 모선(mother line)과 평행한 평면으로 절단할 때 나타나는 단면 곡선이다.
기하학적 정의
포물선은 평면 위의 한 점 F(초점)와 이 점을 지나지 않는 한 직선 l(준선)이 주어졌을 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점 P들의 자취로 정의된다. 즉, PF = PH (단, H는 점 P에서 준선 l에 내린 수선의 발)를 만족하는 점들의 집합이다.
포물선의 축(axis)은 초점을 지나고 준선에 수직인 직선이며, 포물선은 이 축에 대하여 선대칭이다. 포물선과 축의 교점을 꼭짓점(vertex)이라고 하며, 꼭짓점은 초점과 가장 가까운 포물선 위의 점이다. 꼭짓점에서 초점까지의 거리를 초점거리(focal length)라고 한다.
좌표평면에서의 방정식
데카르트 좌표계에서 포물선의 방정식은 다음과 같이 표현된다.
- 초점이 (a, 0)이고 준선이 x = -a인 포물선(오른쪽으로 열린 형태): y² = 4ax
- 초점이 (0, a)이고 준선이 y = -a인 포물선(위로 열린 형태): x² = 4ay
일반적으로 축이 y축에 평행하고 꼭짓점이 (h, k)인 포물선의 방정식은 (x - h)² = 4p(y - k)로 나타낸다. 이는 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프가 포물선임을 의미한다.
원뿔 곡선의 일반 방정식 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0에서 B² = 4AC의 관계가 성립할 때 이 곡선은 포물선이 된다.
반사 성질
포물선의 중요한 기하학적 성질 중 하나는 반사 성질이다. 포물선의 축에 평행하게 입사한 빛(또는 전자기파)은 포물선에서 반사된 후 모두 초점으로 모이고, 반대로 초점에 광원을 놓으면 포물선에 반사된 빛이 축에 평행하게 나아간다. 이러한 성질은 반사망원경, 파라볼라 안테나, 손전등, 자동차 헤드라이트, 태양열 조리기 등에 응용된다.
역사
포물선을 포함한 원뿔 곡선에 대한 최초의 체계적인 연구는 기원전 4세기경 그리스의 수학자 메나이크모스(Menaechmus)에 의해 시작되었다. 그는 정육면체의 부피를 두 배로 늘리는 문제(델로스 문제)를 해결하는 과정에서 원뿔 곡선을 발견하였다. 기원전 3세기경 페르게의 아폴로니오스(Apollonius of Perga)는 8권의 저서 《원뿔 곡선론》(Conics)을 통해 포물선을 포함한 원뿔 곡선의 수학적 성질을 집대성하였으며, "파라볼라"(parabola)라는 명칭도 그가 붙인 것으로 전해진다. 이 용어는 그리스어로 '나란히 놓다', '적용하다'는 의미의 'παραβολή'(parabolē)에서 유래하였다.
같은 시기 아르키메데스(Archimedes)는 실진법(method of exhaustion)을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 그에 내접하는 삼각형 넓이의 4/3임을 증명하였다.
17세기 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)는 수평으로 발사된 물체가 중력만 받을 경우 포물선 궤적을 따른다는 것을 발견하였다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 포물선의 반사 성질을 연구하여 1668년 최초의 반사망원경을 제작하였다.
응용
포물선은 다양한 분야에서 활용된다. 물리학에서는 등가속도 운동하는 물체의 궤적, 특히 중력장에서의 포물선 운동(발사체 운동)을 설명하는 데 사용된다. 광학 및 통신공학에서는 파라볼라 반사경을 이용한 반사망원경, 위성 안테나, 레이더 수신기, 파라볼릭 마이크 등에 응용된다. 토목공학에서는 흙댐의 침윤선 작도, 현수교의 주케이블 곡선 설계, 포물선 아치 구조 등에 사용된다. 천문학에서는 태양계를 스쳐 지나가는 장주기 혜성의 궤도가 포물선에 가까운 형태를 띤다. 수치해석에서는 심슨 법칙(Simpson's rule)을 이용한 수치적분에 포물선 호가 사용된다.
