정의
고전역학에서 평행축 정리(平行軸定理, parallel‑axis theorem)란 두 회전축이 서로 평행할 때, 한 축에 대한 관성 모멘트와 다른 평행한 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트를 $I_{\text{cm}}$라 하고, 그 축에서 거리 $d$만큼 평행이동된 축에 대한 관성 모멘트를 $I$라 하면,
$$ I = I_{\text{cm}} + m d^{2} $$
가 된다. 여기서 $m$은 물체의 전체 질량이며, $d$는 두 축 사이의 수직 거리이다.
유도 개요
관성 모멘트는 입자 $i$에 대해 $I = \sum_i m_i r_i^{2}$ 로 정의된다. 질량 중심을 원점으로 잡고, 새로운 축의 원점을 $(a,b)$ 로 두면 $d^{2}=a^{2}+b^{2}$ 가 된다. 관성 모멘트를 전개하면
$$ I = \sum_i m_i\big[(x_i-a)^{2}+(y_i-b)^{2}\big] = \underbrace{\sum_i m_i (x_i^{2}+y_i^{2})}{I{\text{cm}}} + m (a^{2}+b^{2}) = I_{\text{cm}} + m d^{2} $$
가 된다. 연속체에 대해서는 합을 적분으로 바꾸어 동일한 식을 얻는다.
관성 모멘트 텐서에 대한 확장
관성 모멘트는 스칼라뿐 아니라 텐서 형태로도 정의된다. 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를 $\mathbf{I}$, 평행 이동된 축에 대한 텐서를 $\mathbf{I}'$라 하면
$$ I'{ij}= I{ij}+ m\big(a^{2}\delta_{ij}-a_i a_j\big) $$
가 된다. 여기서 $\mathbf{a}$는 질량 중심에서 새로운 축까지의 이동 벡터, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다.
주요 활용
- 복잡한 물체의 관성 모멘트를 쉽게 계산할 때, 질량 중심을 기준으로 한 관성 모멘트를 먼저 구하고 평행축 정리를 적용한다.
- 구조공학에서 단면 이차 모멘트를 구하거나, 기계·항공 분야에서 회전 부품의 동적 특성을 분석할 때 널리 이용된다.
- 물리학 교육에서 회전 운동과 관련된 기본 법칙을 설명하는 데 핵심적인 예제로 사용된다.
관련 개념
- 수직축 정리(Perpendicular‑Axis Theorem): 평면 물체에 대해 두 수직 축에 대한 관성 모멘트와 그들의 합이 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트와 동일함을 나타낸다.
- 관성 모멘트 텐서: 회전축의 방향에 따라 관성 모멘트를 일반화한 2차 텐서 형태.
참고문헌
- Young, H. D.; Freedman, R. A. (2004). Sears and Zemansky's University Physics. 11th ed. Addison‑Wesley.
- 문희태 (2006). 개정판 고전역학. 서울: 서울대학교출판부.
- Eric Weisstein, “Parallel Axis Theorem”, World of Physics, 2008.