정의
평행육면체(parallelepiped)는 3차원 유클리드 공간에서 여섯 개의 면이 모두 평행사변형인 다면체이다. 즉, 각 면은 두 쌍의 평행한 변을 가지며, 대칭적인 면끼리는 서로 평행하고, 대응되는 면은 동일한 모양과 크기를 가진다. 평행육면체는 직육면체와 정육면체를 포함하는 보다 일반적인 형태이며, 세 개의 비공선(non‑collinear) 벡터 a, b, c가 한 꼭짓점에서 시작될 때 이들 벡터가 생성하는 평행육면체로도 정의될 수 있다.
성질
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 면 | 총 6면, 각각은 평행사변형. 서로 마주 보는 두 면은 서로 평행하고 동일한 형태. |
| 모서리 | 12개의 모서리. 각 모서리는 두 면 사이의 교차선이며, 같은 길이를 갖는 모서리 쌍이 3쌍 존재한다. |
| 정점 | 8개의 정점. 각 정점은 세 개의 모서리가 만나며, 각 모서리는 서로 다른 방향을 가진다. |
| 부피 | 부피 V는 세 벡터 a, b, c의 삼중곱(스칼라 트리플 프로덕트)으로 구한다: $\displaystyle V = |
| 표면적 | 표면적 S는 여섯 면의 넓이 합으로 계산한다. 각 면의 넓이는 해당 평행사변형의 기저벡터 길이와 그 사이 각도의 사인값을 이용한다. |
| 대각선 | 공간 대각선은 두 반대 코너를 연결하며, 그 길이는 $\sqrt{ |
| 축 대칭 | 일반적인 평행육면체는 대칭축을 갖지 않지만, 특수 경우(예: 직육면체, 정육면체)에는 다수의 대칭축이 존재한다. |
특수형
- 직육면체: 모든 면이 직사각형인 평행육면체. 세 축 방향의 벡터가 서로 직교(orthogonal)하고, 각 벡터의 길이가 면의 변 길이에 해당한다.
- 정육면체: 모든 면이 정사각형이며, 세 축 벡터가 서로 직교이고 길이가 동일한 경우.
- 희소 평행육면체: 한 쌍의 면만 직사각형이고 나머지는 일반 평행사변형인 경우 등, 다양한 변형이 존재한다.
구성 방법
- 벡터 방법: 시작점 $O$와 세 비공선 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$를 선택한다. $O$를 기준으로 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$를 이동시키면 여섯 면이 형성되며, 이를 통해 정확한 기하학적 위치와 크기를 지정할 수 있다.
- 좌표 방법: 직교좌표계에서 각 꼭짓점의 좌표를 $(x, y, z)$ 형태로 지정한다. 대각선의 양 끝점 좌표가 주어지면, 나머지 정점은 두 점 사이의 벡터 차를 이용해 계산한다.
응용
평행육면체는 물리학·공학·컴퓨터 그래픽스 등에서 부피·질량·관성 모멘트 등을 계산할 때 기본 단위 형태로 사용된다. 특히, 물체의 밀도와 부피를 곱해 질량을 구하거나, 전자기학에서 전기 선밀도(전기 플럭스)를 나타내는 가우시안 면으로 활용된다.
역사·어원
‘평행(parallel)’과 ‘육면체(六面體)’가 결합된 한국어 표기이며, 영문 ‘parallelepiped’는 프랑스어 ‘parallélépipède’에서 차용된 용어이다. ‘parallelepiped’는 라틴어 ‘parallelos’(평행)와 ‘pes’(목재 블록)에서 유래한 것으로 추정된다.
관련 항목
- 벡터와 삼중곱
- 직육면체, 정육면체
- 입체 기하학
- 가우스 정리
참고 문헌
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd ed., Dover Publications, 1973.
- David Hilbert & Stefan Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, Chelsea Publishing, 1952.
- J. O'Rourke, Computational Geometry in C, Cambridge University Press, 1998.