평균곡률(平均曲率, Mean Curvature)은 미분기하학에서 곡면의 국소적 기하학적 성질을 나타내는 양으로, 주곡률의 산술평균으로 정의된다. 곡면 위 한 점에서 법선 단면을 고려할 때, 이 단면들의 곡률값 중 최대값과 최소값을 각각 제1 주곡률($\kappa_1$), 제2 주곡률($\kappa_2$)이라 하며, 평균곡률 $H$는 다음과 같이 표현된다.
$$ H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} $$
가우스 곡률($K = \kappa_1 \kappa_2$)이 곡면의 고유한 성질(내재적 기하)인 데 반해, 평균곡률은 곡면이 둘러싸인 공간에 어떻게 놓이는가에 따라 달라지는 외재적 기하량이다.
주요 성질과 용례는 다음과 같다.
- 최소 곡면(Minimal Surface): 평균곡률이 모든 점에서 0($H=0$)인 곡면을 최소 곡면이라 한다. 이는 주어진 경계 조건 하에서 면적을 국소적으로 최소화하는 곡면이며, 비눗막 등의 물리적 현상으로 나타난다.
- 일정 평균곡률 곡면(CMC Surface): 평균곡률이 상수인 곡면으로, 구($H eq 0$), 원통($H eq 0$), 운트 곡면(Unduloid) 등이 이에 속한다. 물리적으로는 표면장력이 작용하는 액체의 경계면(예: 비눗방울, 모세관 현상)에서 나타난다.
- 곡면의 진화(Mean Curvature Flow): 곡면이 법선 방향으로 평균곡률에 비례하는 속도로 움직일 때의 흐름을 평균곡률 흐름이라 하며, 기하해석학 및 영상 처리(노이즈 제거 등) 분야에서 중요한 연구 대상이다.
- 부호의 관례: 주곡률의 부호는 법선 벡터의 방향에 의존하므로 평균곡률의 부호 역시 법선 방향 선택에 따라 달라진다. 보통 볼록한 구의 바깥쪽 법선을 취할 때 평균곡률이 양수가 되도록 정의하거나, 물리학 분야에서는 압력 차이(Young-Laplace 공식 $\Delta p = 2\gamma H$)와 부호를 맞추어 정의하기도 한다.
