펼침은 수학의 범주론에서 사용되는 용어로, 같은 정의역을 갖는 두 사상의 순서쌍을 의미한다. 보다 정확히는 범주 $\mathcal{C}$의 객체 $X, Y$와 중간 객체 $Z$에 대하여 사상 $f: Z \to X$와 $g: Z \to Y$가 존재할 때 나타나는 구조
$$ X ;\overset{f}{\leftarrow}; Z ;\overset{g}{\rightarrow}; Y $$
를 펼침(span)이라고 한다.
정의
- 범주 $\mathcal{C}$ : 모든 객체와 사상이 포함된 수학적 구조.
- 정의역 : 두 사상이 공통으로 갖는 출발 객체(위 식에서는 $Z$).
- 펼침 : 위와 같은 형태의 사상 쌍 $(f,g)$.
두 펼침 $X \leftarrow U \rightarrow Y$와 $Y \leftarrow V \rightarrow Z$가 주어지면, 이들의 합성은 $Y$에 대한 풀곱(또는 섬유곱) $U \times_{Y} V$를 사용해
$$ X ;\leftarrow; U \times_{Y} V ;\rightarrow; Z $$
와 같은 새로운 펼침으로 정의된다. 이 합성은 선택 공리를 이용해 풀곱을 선택해야 하며, 선택이 달라지면 결과도 달라질 수 있다.
관련 개념
- 쌍대펼침(cospan) : $\mathcal{C}^{op}$에서 정의되는, 사상이 반대 방향으로 연결된 구조 $X \to Z \leftarrow Y$.
- 풀곱(섬유곱, pullback) : 두 사상이 같은 대상으로 향할 때 그 공통 부분을 나타내는 한계 객체.
- 범주 $ \operatorname{Span}(\mathcal{C}) $ : 객체는 $\mathcal{C}$의 객체와 동일하고, 사상은 $\mathcal{C}$ 내의 펼침들로 구성된 범주.
참고
- nLab 등에서 “Span” 및 “Cospan”에 대한 자세한 설명을 제공한다.
- 관련 항목: 이항 관계, 당김(pullback), 밂(limit).
위 내용은 한국어 위키백과 ‘펼침’ 문서(2025년 4월 27일 최신 편집) 및 nLab 자료를 기반으로 하며, 객관적인 서술을 목표로 한다.