정의
편미분 방정식(偏微分方程式, 영어: partial differential equation, 약자 PDE)은 여러 개의 독립변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 미지 함수가 변수가 여럿인 함수일 때, 미지 함수의 편도함수를 포함하는 방정식을 의미한다. 상미분방정식(ordinary differential equation, ODE)이 하나의 독립변수에 대한 미분을 다루는 반면, 편미분 방정식은 두 개 이상의 독립변수에 대한 편도함수를 포함한다.
어원
한자어 '편미분 방정식'은 '치우칠 편(偏)', '작을 미(微)', '나눌 분(分)', '법 식(式)', '단위 정(程)'으로 구성된다. '편미분(偏微分)'은 여러 변수 중 일부 변수에 대해서만 미분하는 것을 의미하며, '방정식(方程式)'은 미지수를 포함하는 등식을 뜻한다. 영어 명칭 'partial differential equation'에서 'partial'은 '부분적인'이라는 의미로, 전체 미분이 아닌 특정 변수에 대한 부분 미분을 다룬다는 점에서 유래하였다.
분류
편미분 방정식은 다양한 기준에 따라 분류된다.
계수(order): 방정식에 포함된 최고차 편도함수의 계수를 기준으로 분류한다. 1계, 2계 등으로 구분된다.
선형성(linearity):
- 선형 편미분 방정식: 미지 함수와 그 모든 도함수에 대해 선형이며, 계수가 오직 독립변수에만 의존하는 경우.
- 반선형(semilinear): 최고차 도함수의 계수가 독립변수에만 의존하는 경우.
- 준선형(quasilinear): 최고차 도함수의 계수가 미지 함수와 그 저차 도함수에 의존할 수 있는 경우.
- 완전 비선형(fully nonlinear): 위에 해당하지 않는 비선형 방정식.
2계 선형 편미분 방정식의 형태 분류: 2계 선형 편미분 방정식은 이차 형식의 고윳값 부호에 따라 다음 세 가지로 분류된다.
- 타원형(Elliptic): 모든 고윳값이 양수인 경우. 대표적인 예로 라플라스 방정식($u_{xx} + u_{yy} = 0$)이 있다.
- 포물형(Parabolic): 고윳값이 모두 음이 아닌 실수이며 0인 고윳값이 존재하는 경우. 대표적인 예로 열 방정식($u_t - u_{xx} = 0$)이 있다.
- 쌍곡형(Hyperbolic): 음의 고윳값을 갖는 경우. 대표적인 예로 파동 방정식($u_{tt} - u_{xx} = 0$)이 있다.
해법
편미분 방정식은 상미분방정식과 달리 일반해를 구하는 것이 일반적으로 어렵거나 불가능한 경우가 많다. 따라서 특정 초기조건과 경계조건을 만족하는 특수해를 구하는 것이 실제 응용에서 더 중요하다. 주요 해법으로는 변수분리법, 특성곡선법, 푸리에 변환, 라플라스 변환, 수치 해석적 방법(유한차분법, 유한요소법 등)이 있다.
응용
편미분 방정식은 자연과학과 공학 전반에 걸쳐 광범위하게 사용된다. 소리와 열의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계의 수학적 모델링에 활용된다. 구체적으로 열전도 현상(열 방정식), 파동 전파(파동 방정식), 중력장과 전기장(라플라스 방정식, 푸아송 방정식), 양자 역학(슈뢰딩거 방정식) 등이 대표적인 예이다.
