편미분(偏微分, 영어: partial derivative)은 다변수 함수에서 특정 변수 하나에 대해서만 미분을 수행하고, 나머지 변수는 상수로 간주하는 미분법이다. 이 과정을 통해 얻어진 도함수를 편도함수(partial derivative function)라고 부르며, 편도함수를 구하는 연산 자체를 편미분이라 한다.
정의
연결된 열린집합 $ D \subseteq \mathbb{R}^n $ 위에 정의된 실숫값 함수 $ f: D \to \mathbb{R} $와 점 $ \boldsymbol{a} \in D $에 대하여, 점 $ \boldsymbol{a} $에서 함수 $ f $의 변수 $ x_i $에 대한 편미분은 다음과 같은 극한으로 정의된다.
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_{i-1}, a_i + h, a_{i+1}, \ldots, a_n) - f(a_1, \ldots, a_{i-1}, a_i, a_{i+1}, \ldots, a_n)}{h} $$
즉, $ x_i $를 제외한 모든 변수를 고정시킨 뒤, $ x_i $에 대해서만 일변수 함수의 미분을 적용하는 것과 같다. 어떤 점 $ \boldsymbol{a} $에서 위 극한이 존재하면, 함수 $ f $가 그 점에서 $ x_i $에 대해 편미분 가능하다고 한다. 정의역 $ D $의 모든 점에서 편미분이 존재하면, 함수 $ f $가 $ D $에서 $ x_i $에 대해 편미분 가능하다고 하며, 이때 편미분은 $ D $에서 $ \mathbb{R} $로 가는 함수가 된다.
기호
편미분을 나타내는 기호로는 $ \partial $ (라운드 디, curly d)가 사용된다. 표기 방식은 다음과 같다.
$$ f'_x,; f_x,; \partial_x f,; \frac{\partial}{\partial x}f,; \frac{\partial f}{\partial x} $$
기호 $ \partial $는 1770년 니콜라 드 콩도르세(Nicolas de Condorcet)가 편차분 기호로 처음 사용하였고, 1786년 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 다시 소개하였으나 널리 쓰이지 않다가, 1841년 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi)가 재도입하여 현재까지 사용되고 있다.
기하학적 의미
두 변수 $ x, y $를 갖는 함수 $ z = f(x, y) $의 그래프는 3차원 공간 속의 곡면을 이룬다. 이 곡면 위의 한 점에서 $ y $를 상수로 고정하면 $ xz $-평면과 평행한 곡선이 얻어지며, 이 곡선의 접선 기울기가 $ x $에 대한 편미분 $ \partial z / \partial x $이다. 마찬가지로 $ x $를 상수로 고정하면 $ yz $-평면과 평행한 곡선의 접선 기울기가 $ \partial z / \partial y $가 된다.
예를 들어 함수 $ z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2 $에서 $ y = 1 $로 고정하면 $ f_{(1)}(x) = x^2 + x + 1 $이 되고, 이를 $ x $에 대해 미분하면 $ f'_{(1)}(x) = 2x + 1 $이다. 점 $ (1, 1) $에서 이 값은 3이므로, $ \partial z / \partial x (1, 1) = 3 $이다. 일반화하면 $ \partial f / \partial x (x, y) = 2x + y $가 된다.
관련 개념
- 기울기(gradient): 함수가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 때, 각 변수에 대한 편미분을 성분으로 갖는 벡터를 기울기라 하며 $ abla f $로 표기한다.
- 방향도함수(directional derivative): 편미분의 일반화로, 좌표축 방향뿐 아니라 임의의 방향으로의 함수 변화율을 나타낸다. 단위 벡터 $ \boldsymbol{v} $ 방향의 방향도함수는 $ \partial f / \partial \boldsymbol{v} $로 표기하며 극한으로 정의된다.
활용
편미분은 물리학, 공학, 경제학 등 여러 학문 분야에서 다변수 함수의 국소적 변화를 분석하는 데 핵심적인 도구로 사용된다. 열역학, 전자기학, 유체역학, 최적화 이론, 머신러닝의 경사 하강법(gradient descent) 등에서 널리 응용된다.
