정의
복소수 $z = x + i y ;(x, y \in \mathbb{R})$에 대해, $z
eq 0$이면 그 편각(argument, 영어: argument)은 복소평면의 극좌표에서 원점으로부터 $z$까지의 방향을 나타내는 각 $\theta$이며, 기호 $\operatorname{arg} z$ 로 표기한다. $\operatorname{arg} z$는 다음과 같이 정의된다.
$$ z = |z| , e^{i,\operatorname{arg} z}, \qquad |z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}. $$
구체적인 식은 실수부 $x$와 허수부 $y$의 부호에 따라 경우를 나누어
$$ \operatorname{arg} z= \begin{cases} \arctan!\left(\dfrac{y}{x}\right) & x>0,$$6pt] \pi + \arctan!\left(\dfrac{y}{x}\right) & x<0,; y\ge 0,$$6pt] -\pi + \arctan!\left(\dfrac{y}{x}\right) & x<0,; y<0,$$6pt] \frac{\pi}{2} & x=0,; y>0,$$6pt] -\frac{\pi}{2} & x=0,; y<0, \end{cases} $$
와 같이 정의한다. 이 정의는 $\operatorname{arg} z$를 구간 $(-\pi,\pi]$에 놓으며, 이는 음의 실수축에 대해 분지절단(branch cut) 을 적용한 결과이다. 복소수 $z=0$의 경우 $|z|=0$이므로 $\operatorname{arg} 0$는 엄밀히 정의되지 않는다.
주편각
편각은 주기성을 갖는 다가 함수이므로, 같은 복소수에 대해 $\operatorname{arg} z + 2k\pi;(k\in\mathbb{Z})$ 역시 가능한 값이다. 구간 $(-\pi,\pi]$에 제한한 값을 주편각(principal argument)이라 하며, 보통 $\operatorname{Arg} z$ 로 표기한다.
관련 개념
- 절댓값(모듈러스) $|z|$: 복소수의 크기, 즉 원점으로부터의 거리.
- 극형식: $z = r e^{i\theta}$ 형태로 복소수를 나타내는 방법, 여기서 $r=|z|$, $\theta=\operatorname{arg} z$.
- 편각 원리(Argument Principle): 복소함수론에서 폐곡선 내부의 영점과 극점의 수와 관련된 정리로, 편각의 변화를 적분으로 표현한다.
주의 사항
- 복소수 $0$의 편각은 정의되지 않는다.
- 분지절단의 선택에 따라 편각의 값이 달라질 수 있으므로, 문맥에 따라 어떤 구간을 사용하고 있는지 명시하는 것이 필요하다.
위 내용은 위키백과(한국어) ‘편각 (수학)’ 항목을 기반으로 작성되었습니다.