펠 수(Pell number)는 영국의 수학자 존 펠(John Pell, 1611–1685)의 이름에서 유래한 수학 개념으로, 펠 수열(Pell sequence)을 구성하는 각각의 수를 가리킨다. 펠 수열은 펠 방정식(Pell's equation)의 해와 밀접하게 연관되어 있으며, 제곱근 2(√2)의 유리수 근삿값을 구하는 과정에서 자연스럽게 출현하는 수열이기도 하다.
펠 수열의 정의
펠 수열은 다음과 같은 점화식으로 정의된다.
- $ P_0 = 0 $
- $ P_1 = 1 $
- $ P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} $ (단, $ n \ge 2 $)
즉, 각 항은 바로 앞 항의 두 배에 그 앞 항을 더하여 구한다. 이 점화식에 따라 계산된 초기 펠 수들은 다음과 같다.
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, ...
펠 방정식과의 관계
펠 수는 다음 형태의 펠 방정식
$$ x^2 - 2y^2 = \pm 1 $$
을 만족하는 해 $(x, y)$에서 분모 $y$에 해당한다. 이 방정식의 해를 순서대로 나열한 분수 $\frac{x}{y}$는 √2에 점점 더 가까워지는 근삿값이 된다.
$$ \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{577}{408}, \dots $$
이때 각 분수의 분모가 바로 펠 수(Pell number)이며, 분자는 펠-뤼카 수(Pell–Lucas number)라고 불린다.
일반항
펠 수열의 일반항은 다음과 같은 닫힌 형태(closed form)로 표현할 수 있다.
$$ P_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}} $$
이는 피보나치 수열의 일반항(비네 공식)과 유사한 구조를 가진다.
성질 및 활용
- 펠 수열은 뤼카 수열(Lucas sequence)의 일종으로 분류된다.
- 펠 수는 제곱근 2의 연분수 전개(continued fraction expansion)에서 나타나는 수렴분수의 분모와 일치한다.
- 피타고라스 삼조(Pythagorean triple)를 생성하는 데에도 활용될 수 있다.
- 펠 수가 소수인 경우를 펠 소수(Pell prime)라고 하며, 예로는 2, 5, 29, 5741 등이 있다.
펠 수는 피보나치 수와 유사한 성질을 가지면서도 2배 계수가 포함된 점화식을 따른다는 점에서 수학적으로 중요한 연구 대상이며, 정수론, 연분수 이론, 디오판토스 방정식 등 여러 분야에서 다루어지고 있다.
