펠 방정식(Pell方程式, 영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나로, 정수론에서 중요한 위치를 차지하는 수학적 개념이다.
정의
펠 방정식은 다음과 같은 형태의 디오판토스 방정식이다.
$$ x^2 - n y^2 = 1 \qquad x, y \in \mathbb{Z}^+ $$
여기서 $n$은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. 만약 $n$이 완전제곱수라면 방정식은 $(x - \sqrt{n}y)(x + \sqrt{n}y) = 1$로 인수분해되며, 이 경우 자명한 해 $(x, y) = (1, 0)$ 외에는 유의미한 정수해가 존재하지 않으므로 $n$은 제곱수가 아닌 경우만을 다룬다.
대수적 수론의 관점에서 보면, 펠 방정식은 이차 수체 $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$에서 노름(norm)이 1인 원소 $x + y\sqrt{n}$을 찾는 문제와 동치이다.
역사
펠 방정식의 역사는 고대까지 거슬러 올라간다. 기원전 400년경 인도와 그리스의 수학자들은 $n=2$인 경우, 즉 $x^2 - 2y^2 = 1$을 연구하였으며, 이는 $\sqrt{2}$의 유리수 근사와 관련이 있다. 고대 그리스의 프로클로스(Proclus)는 변과 지름의 수가 이 방정식을 따른다는 사실을 관찰하였다.
인도 수학에서는 7세기경 브라마굽타(Brahmagupta)가 브라마스푸타시단타(Brahmasphutasiddhanta)에서 $92x^2 + 1 = y^2$의 정수해를 발견하였고, 브라마굽타 항등식(Brahmagupta's identity)을 이용하여 펠 방정식의 해를 구성하는 방법을 제시하였다. 12세기 바스카라 2세(Bhāskara II)는 차크라발라 방법(chakravala method)이라는 순환적 방법을 개발하여 $n=61$인 경우 $x = 1766319049, y = 226153980$이라는 큰 해를 구하였다.
유럽에서는 17세기에 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 이 방정식을 영국 수학자들에게 도전 문제로 제시하였고, 윌리엄 브라운커(William Brouncker)와 존 월리스(John Wallis)가 해법을 제시하였다. 이 방정식의 이름은 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 브라운커의 해법을 존 펠(John Pell)에게 잘못 귀속시킨 데서 유래하였다. 이후 조제프루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)가 1766~1769년에 연분수(continued fraction)를 이용한 일반 이론을 정립하였다.
해법
펠 방정식의 해법은 두 단계로 구성된다.
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기본해(Fundamental solution)의 발견: 주어진 $n$에 대하여 $x_1$이 최소인 양의 정수해 $(x_1, y_1)$를 구한다. 이는 $\sqrt{n}$의 연분수 전개를 통해 얻을 수 있다. $\sqrt{n}$의 정규 연분수 전개의 수렴(convergent) $h_i/k_i$를 차례로 검사하여 $h_i^2 - n k_i^2 = 1$을 만족하는 최초의 쌍이 기본해가 된다.
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모든 해의 생성: 기본해 $(x_1, y_1)$가 발견되면, 모든 해 $(x_k, y_k)$는 다음 관계식으로부터 계산된다. $$ x_k + y_k\sqrt{n} = (x_1 + y_1\sqrt{n})^k $$ 여기서 $k$는 양의 정수이다. 이는 디리클레의 단위 정리(Dirichlet's unit theorem)와도 연결되며, $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$에서 노름이 1인 단위원(unit)들이 하나의 기본 단위의 거듭제곱으로 표현된다는 사실을 대수적으로 나타낸 것이다.
주요 성질
- 해의 존재성: $n$이 제곱수가 아닌 양의 정수이면 펠 방정식은 항상 무한히 많은 정수해를 가진다. (라그랑주가 증명)
- 해의 무한성: 기본해 $(x_1, y_1)$로부터 위의 거듭제곱 공식을 통해 무수히 많은 해를 생성할 수 있다.
- 근사적 의미: 해 $(x, y)$에서 $x/y$는 $\sqrt{n}$의 좋은 유리수 근사값을 제공한다.
음의 펠 방정식
음의 펠 방정식(Negative Pell's equation)은 다음과 같은 형태이다. $$ x^2 - n y^2 = -1 $$ 이 방정식은 모든 $n$에 대해 해가 존재하는 것은 아니며, $\sqrt{n}$의 연분수 전개 주기가 홀수 길이일 때에만 해를 가진다. 해가 존재할 경우 양의 펠 방정식과 유사한 방법으로 해를 구할 수 있다.
일반화된 펠 방정식
일반화된 펠 방정식(Generalized Pell's equation)은 다음과 같은 형태이다. $$ x^2 - d y^2 = N $$ 여기서 $N$은 1이 아닌 정수이다. 이 방정식은 대응하는 펠 방정식 $u^2 - d v^2 = 1$의 해를 이용하여 풀 수 있으며, 유한 개의 기본해 집합으로부터 모든 해가 생성된다.
응용
펠 방정식은 순수 수학의 여러 분야와 연결될 뿐만 아니라, 암호학, 정수론적 알고리즘, 양자 정보 이론 등 다양한 응용 분야에서 활용된다. 특히 연분수, 대수적 수론, 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomials), 매끄러운 수(smooth numbers) 연구 등과 깊은 관련이 있다.
