페르마 점(Fermat point)은 기하학에서 삼각형의 세 꼭짓점으로부터의 거리의 합이 최소가 되는 점을 말한다. 토리첼리 점(Torricelli point) 또는 페르마-토리첼리 점(Fermat–Torricelli point)이라고도 불린다.
역사
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)에게 보낸 편지에서 이 문제를 처음 제기하였고, 토리첼리가 이를 해결하였다. 페르마의 마지막 정리로 널리 알려진 페르마가 제안한 또 다른 유명한 기하학적 문제이다.
정의 및 성질
삼각형 ABC의 내부 또는 경계 위의 점 P에 대하여, AP + BP + CP의 값이 최소가 되는 점 P를 페르마 점이라고 한다. 페르마 점의 위치는 삼각형의 각의 크기에 따라 다음과 같이 결정된다.
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모든 내각이 120° 미만인 경우: 페르마 점은 삼각형 내부에 위치하며, 이 점에서 세 꼭짓점을 연결한 선분들이 이루는 각은 모두 120°이다. 즉, ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°가 성립한다.
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한 내각이 120° 이상인 경우: 페르마 점은 그 둔각의 꼭짓점과 일치한다. 즉, 가장 큰 각을 가진 꼭짓점 자체가 페르마 점이 된다.
작도 방법
모든 내각이 120° 미만인 삼각형에서 페르마 점은 다음과 같은 방법으로 작도할 수 있다.
- 삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정삼각형을 삼각형 바깥쪽에 각각 그린다.
- 각 정삼각형의 외접원을 그리면 세 원이 한 점에서 만나는데, 이 교점이 페르마 점이다.
- 또는 각 정삼각형의 새로 생긴 꼭짓점과 원래 삼각형의 마주 보는 꼭짓점을 연결하는 세 선분도 한 점에서 만나며, 이 점 역시 페르마 점이다.
일반화
페르마 점은 삼각형을 넘어 다각형으로 일반화될 수 있으며, 이를 기하중앙값(geometric median)이라고 한다. 기하중앙값은 주어진 여러 점에 대해 그 점들로부터의 거리 합이 최소가 되는 점을 의미한다. 또한 페르마 점은 슈타이너 나무 문제(Steiner tree problem)와도 관련이 있는데, 이는 주어진 점들을 연결하는 가장 짧은 총 길이의 나무(그래프 이론에서의 트리)를 찾는 문제이다.
활용
페르마 점은 순수 수학의 기하학 문제에서 비롯되었으나, 여러 꼭짓점에서 최소 거리에 위치한 점을 찾는 최적화 문제로서 물류 네트워크 설계, 통신 기지국 위치 선정, 도시 계획 등 다양한 실제 분야에 응용될 수 있다.
