패러볼로이드(Paraboloid)는 기하학에서 이차 곡면(quadric surface)의 한 종류로, 한국어로는 "포물면"이라고도 불린다. 이 용어는 영어 "paraboloid"의 음차 표기이며, 수학 분야에서 널리 사용되는 공인된 개념이다.
패러볼로이드는 정확히 하나의 대칭축을 가지며 대칭 중심이 없는 이차 곡면이다. "포물면"이라는 명칭은 유사한 대칭 속성을 갖는 원뿔 곡선인 포물선(parabola)에서 유래하였다. 대칭축에 평행한 평면으로 패러볼로이드를 절단하면 모든 평면 단면이 포물선이 된다.
패러볼로이드는 크게 두 가지 유형으로 구분된다.
첫째, 타원 포물면(elliptic paraboloid)은 타원형 컵 모양을 가지며, 적절한 직교 좌표계에서 방정식 z = x²/a² + y²/b²로 표현된다. a = b인 경우 원형 포물면 또는 회전 포물면(circular paraboloid)이 되며, 이는 포물선을 그 축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면이다. 원형 포물면은 축 위에 초점이 존재하며, 초점에서 나온 빛이 포물면에 반사되어 축에 평행한 평행 빔이 되는 성질이 있다. 이 성질은 천문학의 포물선 반사경과 위성 안테나(파라볼라 안테나)에 널리 활용된다. 또한 회전하는 액체의 표면도 원형 포물면의 형태를 띠며, 이는 액체 거울 망원경 제작에 응용된다.
둘째, 쌍곡 포물면(hyperbolic paraboloid)은 안장(saddle) 모양의 이중 곡면으로, 방정식 z = y²/b² − x²/a²로 표현된다. 쌍곡 포물면은 서로 꼬인 위치에 있는 두 가지 직선군을 포함하는 특징이 있어, 직선 재료로 구조물을 쉽게 제작할 수 있다. 이 특성 덕분에 건축 분야에서 콘크리트 지붕 구조물에 자주 사용되었으며, 대표적인 예로는 캐나다 캘거리의 새들돔(1983), 스페인 발렌시아의 오세아노그라픽(2003) 등이 있다. 또한 잘린 쌍곡 포물면의 형태는 프링글스 튀김 과자의 모양과 유사한 것으로 알려져 있다.
패러볼로이드는 사영기하학의 관점에서 무한원 평면에 접하는 타원면 또는 한 겹 쌍곡면으로 이해될 수 있으며, 미분기하학에서는 가우스 곡률과 평균 곡률을 통해 그 곡률 특성이 수학적으로 정밀하게 기술된다. 타원 포물면의 가우스 곡률은 항상 양수이고, 쌍곡 포물면의 가우스 곡률은 항상 음수이다.
이처럼 패러볼로이드는 수학, 물리학, 공학, 건축 등 다양한 분야에서 실질적으로 활용되는 확립된 개념이다.
