팔면체수(영어: Octahedral number)는 구(球)를 최밀 격자 형태로 배열하여 정팔면체를 만들 때 사용되는 구의 총수를 나타내는 수학적 개념이다. 이는 다면체수(polyhedral number)의 한 종류로, 3차원 공간에서의 준정수열( figurate number)에 해당한다.
정의
n번째 팔면체수 $ O_n $은 다음 공식으로 표현된다.
$$ O_n = \frac{n(2n^2 + 1)}{3} $$
이 공식은 n번째 사각뿔수(피라미드 수)와 관련이 있으며, 정팔면체가 두 개의 사각뿔을 밑면끼리 맞붙인 형태라는 기하학적 성질에서 유도된다.
수열
n = 1부터 시작하는 팔면체수는 다음과 같다.
1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1160, 1479, 1854, 2291, 2796, 3375, 4034, 4779, 5616, 6551, 7590, 8739, 10004, ...
이 중 10,000보다 작은 값은 1부터 24번째까지이다.
특성
팔면체수는 사각뿔수(square pyramidal number)와 밀접한 관계가 있다. n번째 사각뿔수를 $ P_n $이라고 할 때, n번째 팔면체수 $ O_n $은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$ O_n = P_{2n} - P_{n-1} $$
또한 팔면체수는 두 개의 연속한 사각뿔수의 합으로도 표현된다.
$$ O_n = P_n + P_{n-1} $$
예시
n = 1일 때: $ O_1 = \frac{1(2 \cdot 1^2 + 1)}{3} = 1 $ (구 1개) n = 2일 때: $ O_2 = \frac{2(2 \cdot 2^2 + 1)}{3} = 6 $ (중앙 1개, 위아래 각 1개씩 총 6개) n = 3일 때: $ O_3 = \frac{3(2 \cdot 3^2 + 1)}{3} = 19 $
관련 분야
팔면체수는 수론(number theory)과 기하학의 교차 영역에서 다루어지며, 결정학에서의 원자 배열이나 입체 기하학적 구조를 분석하는 데 개념적으로 활용될 수 있다. 이는 정수론에서 피타고라스 학파 이래로 연구되어 온 도형수(figurate number) 이론의 한 갈래이다.
