정의
판별식(判別式, discriminant)은 다항식의 계수로부터 계산되는 양으로, 그 다항식이 갖는 근의 성질을 판별하는 데 사용된다. 특히, 근의 중복 여부, 실근·복소근의 존재 여부, 그리고 근들 사이의 차이를 나타내는 정보를 제공한다.
개요
다항식 $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \dots + a_0$ (단, $a_n
eq 0$)가 서로 다른 복소수 근 $r_1, r_2, \dots , r_n$을 가질 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다.
$$ \operatorname{Disc}(f)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(r_i-r_j)^2 . $$
이 식은 근들의 차이를 제곱하여 모두 곱한 형태이며, 계수만을 이용해 전개될 수 있다.
- 이차식 $ax^2+bx+c$의 경우 $\operatorname{Disc}=b^{2}-4ac$이다.
- 삼차식 $ax^3+bx^2+cx+d$의 경우 $\operatorname{Disc}=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$ 등으로 전개된다.
판별식의 부호와 영(0) 여부는 다음과 같은 의미를 가진다.
| 판별식 값 | 의미 |
|---|---|
| $>0$ (실수 계수 다항식) | 모든 근이 서로 다른 실수이며, 차수가 짝수이면 실근의 개수가 짝수, 홀수이면 홀수이다. |
| $<0$ (실수 계수 다항식) | 실근과 복소근이 혼재하며, 복소근은 켤레쌍을 이룬다. |
| $=0$ | 다항식이 중복근을 가진다(근이 하나 이상 겹친다). |
어원·유래
‘판별식’이라는 용어는 한자 ‘判別(판별)’과 ‘式(식)’을 차용한 것으로, “구별하는 식”이라는 뜻을 가진다. 영어 ‘discriminant’는 라틴어 discriminare(구별하다)에서 유래했으며, 프랑스어 discriminant를 거쳐 현재의 형태가 되었다. 한국어에서는 이 외래어를 한자어식으로 번역하면서 ‘판별식’이라는 용어가 정착하였다.
특징
-
근의 중복 여부 판단
판별식이 0이면 다항식은 중복근을 가진다. 이는 다항식과 그 도함수의 최대공약수가 존재함을 의미한다. -
근의 실·복소 구분
실수 계수 다항식의 경우, 판별식의 부호에 따라 근이 실수인지 복소수인지 구분할 수 있다. -
대수적·수론적 활용
- 갈루아 군: 판별식은 다항식의 근들에 대한 대칭군(갈루아 군)의 작용과 연관된다. 예를 들어, 이차식의 경우 판별식이 제곱수인지 여부가 갈루아 군이 트리비얼인지 여부를 결정한다.
- 체 판별식: 대수적 수론에서는 수체 확장의 ‘체 판별식’이라는 개념이 존재하며, 이는 확장체의 정수론적 성질을 연구하는 데 사용된다.
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계산적 접근
현대 컴퓨터 algebra 시스템에서는 다항식의 계수만을 입력하면 자동으로 판별식을 전개·계산해준다. 이는 복잡한 고차 다항식의 근의 성질을 빠르게 파악하는 데 유용하다.
관련 항목
- 다항식
- 근의 공식
- 이차 방정식
- 삼차 방정식
- 갈루아 군
- 체 판별식(Algebraic number theory)
- 대수적 정수론
- 수학적 판별식(Discriminant)
※ 위 내용은 위키백과(https://ko.wikipedia.org/wiki/판별식) 등 공신력 있는 자료를 토대로 정리하였다.