파이겐바움 함수(Feigenbaum function)는 동역학계(dynamical systems) 이론에서 미국의 수리물리학자 미첼 파이겐바움(Mitchell Feigenbaum)이 도입한 두 가지 서로 다른 함수를 가리킨다. 하나는 파이겐바움-츠비타노비치 함수방정식(Feigenbaum-Cvitanović functional equation)의 해이고, 다른 하나는 로지스틱 맵(logistic map)의 끌개(attractor) 덮개를 기술하는 스케일링 함수(scaling function)이다.
배경
로지스틱 맵 $x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)$에서 매개변수 $r$이 증가함에 따라, 계는 고정점에서 시작하여 주기 배가(period-doubling)를 거쳐 카오스(chaos)로 이행한다. 파이겐바움은 이러한 주기 배가 과정이 어떤 특정한 규모 불변성(scale invariance)을 지니며, 서로 다른 비선형 함수들에서도 동일한 보편적 상수(파이겐바움 상수)가 나타난다는 사실을 발견했다.
파이겐바움-츠비타노비치 함수방정식
파이겐바움과 프레드라그 츠비타노비치(Predrag Cvitanović)가 발견한 함수방정식은 주기 배가의 보편성을 수학적으로 표현한 것이다. 이 방정식은 함수 $g$와 매개변수 $\alpha$에 대해 다음과 같이 정의된다.
$$ g(x) = -\alpha , g(g(-x/\alpha)) $$
초기 조건은 다음과 같다.
$$ g(0) = 1, \quad g'(0) = 0, \quad g''(0) < 0 $$
이 방정식의 해 $g$는 $x=0$ 근처에서 2차 의존성을 가지며, 이때 $\alpha = 2.5029\ldots$는 두 번째 파이겐바움 상수 중 하나이다. $g$의 멱급수 전개는 근사적으로 다음과 같다.
$$ g(x) = 1 - 1.52763 x^2 + 0.104815 x^4 + 0.026705 x^6 + O(x^8) $$
재규격화 군과의 관계
파이겐바움 함수는 재규격화 군(renormalization group) 접근법을 통해 유도될 수 있다. 카오스 직전의 임계점에서, 어떤 실수 함수 $F$에 대해서도 다음 극한이 성립한다.
$$ g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{F^{(2^n)}(0)} , F^{(2^n)}!\left( x , F^{(2^n)}(0) \right) $$
이는 주기 배가 경로를 따르는 모든 1차원 계가 동일한 스케일링 함수 $g$로 수렴함을 의미하며, 이것이 파이겐바움 보편성(universality)의 핵심이다.
스케일링 함수
파이겐바움 스케일링 함수(Feigenbaum scaling function)는 로지스틱 맵의 끌개(주기 배가 캐스케이드 끝에서의 칸토어 집합)에 대한 완전한 기술을 제공한다. 이 끌개는 중간 3분의 1 칸토어 집합과 유사하게 유한한 구간들로 덮을 수 있으며, 연속된 덮개 간 구간 길이의 비율이 스케일링 함수 $\sigma$로 수렴한다.
의의
파이겐바움 함수는 카오스 이론에서 보편성 현상을 설명하는 핵심적인 수학적 도구이다. 로지스틱 맵뿐만 아니라 유체 난류, 전자 발진기, 화학 반응 등 다양한 비선형계에서 동일한 스케일링 함수와 상수가 나타나며, 이는 비선형 동역학계의 보편적 행동을 이해하는 데 중요한 기초를 제공한다.
