파이겐바움 상수(Feigenbaum constant)는 로지스틱 맵(logistic map)과 같은 비선형 동역학계에서 주기배가 분기(period-doubling bifurcation)를 거쳐 혼돈(chaos)으로 이행하는 과정에서 나타나는 두 개의 보편적 수학 상수를 말한다. 미국의 수리물리학자 미첼 파이겐바움(Mitchell Jay Feigenbaum, 1944–2019)이 1975년경 발견하였으며, 그의 이름에서 명칭이 유래하였다.
제1 상수 δ (델타)
δ = lim_{n→∞} (a_{n-1} - a_{n-2}) / (a_n - a_{n-1}) = 4.66920160910299067185320382...
이는 연속된 분기점 사이의 간격 비율이 수렴하는 값이다. 로지스틱 맵 x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)에서 매개변수 r이 증가함에 따라 주기가 1→2→4→8→...로 두 배씩 증가하는 분기가 일어나는데, 각 분기점 r_n 사이의 간격이 점차 줄어들며 그 비율이 δ로 수렴한다. 놀랍게도 이 값은 로지스틱 맵뿐만 아니라, 단봉(unimodal) 형태의 1차원 사상(map)을 따르는 다양한 비선형계에서 동일하게 나타나는 보편 상수(universal constant)임이 증명되었다.
제2 상수 α (알파)
α = 2.502907875095892822283902873218...
이는 분기 다이어그램에서 나타나는 가지(tine)의 폭과 그 하위 가지의 폭 사이의 비율로 정의된다. 파이겐바움 함수 g(x)의 재귀 관계식 g(x) = (1/α) g(g(αx))에서도 등장한다.
두 상수 모두 온라인 정수열 백과사전(OEIS)에 등재되어 있으며, 각각 수열 A006890(δ)과 A006891(α)에 해당한다.
파이겐바움 상수는 혼돈 이론(카오스 이론)에서 중요한 의미를 지닌다. 단순한 비선형계에서도 질서 있는 스케일링 법칙이 존재함을 보여주며, 주기배가 분기를 통해 혼돈으로 접근하는 경로(파이겐바움 경로, Feigenbaum route)의 보편성을 설명하는 핵심 개념이다. 이 상수들은 프랙탈 구조, 텐트 맵(tent map), 멱함수 사상(power-law map) 등 다양한 비선형계에서도 동일하게 관측된다.
