파울리-루반스키 벡터(Pauli–Lubański vector)는 상대론적 양자역학과 양자장론에서 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 조합으로 정의되는 유사벡터(pseudovector)이다. 이 개념은 입자의 스핀 상태를 로런츠 공변적으로 기술하는 데 사용되며, 푸앵카레 군(Poincaré group)의 표현론에서 중요한 역할을 한다.
정의
파울리-루반스키 벡터는 일반적으로 $W^\mu$로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.
$$ W_\mu = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu u\rho\sigma} J^{ u\rho} P^{\sigma} $$
여기서 $\varepsilon_{\mu u\rho\sigma}$는 4차원 완전 반대칭 레비치비타(Levi-Civita) 유사텐서이고, $J^{ u\rho}$는 상대론적 각운동량 텐서 연산자, $P^{\sigma}$는 4차원 운동량 연산자이다. 외대수(exterior algebra)의 언어로 표현하면 이는 삼중벡터의 호지 쌍대(Hodge dual)에 해당한다.
이 벡터는 항상 운동량과 직교한다.
$$ P^\mu W_\mu = 0 $$
또한 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.
$$ [P^\mu, W^ u] = 0 $$
$$ [J^{\mu u}, W^\rho] = i(g^{\rho u}W^\mu - g^{\rho\mu}W^ u) $$
카시미르 불변량
스칼라 $W^2 = W_\mu W^\mu$는 로런츠 불변 연산자이며, 운동량과 각운동량 모두와 가환한다. 따라서 질량을 나타내는 $P^2$와 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량(Casimir invariant)을 이룬다. 이 두 불변량은 푸앵카레 군의 기약 유니터리 표현을 분류하는 데 사용된다.
유질량 입자의 경우
유질량 입자에 대하여 $W^2$의 고윳값은 다음과 같이 주어진다.
$$ W^2 = -m^2 s(s+1) $$
여기서 $m$은 정지 질량, $s$는 스핀 양자수이다. 입자의 정지 좌표계에서는 $W^0 = 0$이고 $\vec{W} = m\vec{J}$가 되어, 작은 군(little group)이 회전군으로 환원된다.
무질량 입자의 경우
무질량 입자의 경우 일반적으로 $W^2 = 0$이 되며, 이때 $W^\mu = \lambda P^\mu$의 관계가 성립한다. 여기서 $W^0 = -\vec{J}\cdot\vec{P}$는 나선도(helicity)를 나타낸다. 다만 수학적으로 $P^2 = 0$이 반드시 $W^2 = 0$을 함의하지는 않으며, 이로부터 연속 스핀 표현(continuous spin representation)이라는 별도의 표현족이 도출될 수 있다. 다만 현재까지 관측된 기본 입자 중 이 족에 속하는 물리적 사례는 알려져 있지 않다.
역사
이 벡터는 폴란드의 물리학자 유제프 카지미에시 루반스키(Józef Kazimierz Lubański)가 1942년 《Physica》 저널에 발표한 두 편의 논문에서 처음 도입하였다. 이후 볼프강 파울리(Wolfgang Pauli)와의 관련 연구를 통해 널리 알려져 '파울리-루반스키 벡터'라는 이름으로 불리게 되었다.
활용
파울리-루반스키 벡터는 위그너 분류(Wigner's classification)를 통해 푸앵카레 군의 기약 유니터리 표현을 분류하는 데 핵심적인 도구로 사용된다. 또한 상대론적 입자의 스핀과 나선도를 공변적으로 기술하는 표준적인 방법으로서, 입자물리학의 표준 모형을 포함한 현대 양자장론 전반에서 광범위하게 활용된다.
