일반위상수학에서 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 단위 분할의 존재를 증명하기 위해 필요한 개념으로, 콤팩트 공간의 정의를 일반화한 위상 공간의 한 유형이다. 수학에서 흔히 다루어지는 대부분의 공간이 파라콤팩트 공간에 해당하며, 파라콤팩트성을 가정하면 단위 분할을 통해 해석학적 구조를 비교적 쉽게 정의할 수 있다는 점에서 중요한 위치를 차지한다.
정의
위상 공간 X 위의 임의의 열린 덮개에 대하여, 국소 유한(locally finite) 열린 덮개인 세분(refinement)을 항상 찾을 수 있을 때, X를 파라콤팩트 공간이라고 한다. 여기서 국소 유한 집합족이란, 공간의 임의의 점에 대하여 그 점을 포함하는 어떤 근방이 유한 개의 집합족 원소와만 교집합을 갖는 성질을 말한다. 즉, 국소 유한성은 콤팩트 공간이 요구하는 전역적 유한성(global finiteness)을 각 점의 근방 수준의 유한성으로 약화시킨 개념이다.
역사
이 개념의 역사는 1940년 존 윌더 튜키(John Wilder Tukey)가 '완전 정규 공간'(fully normal space)의 개념을 정의하면서 시작되었다. 이후 1944년 프랑스의 수학자 장 디외도네(Jean Dieudonné)가 파라콤팩트 공간의 개념을 본격적으로 정식화하였다. 1948년에 아서 해럴드 스톤(Arthur Harold Stone)은 하우스도르프 조건 아래에서 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 서로 동치임을 증명하였다. 같은 해 모리타 기이치(Kiiti Morita)는 정칙 린델뢰프 공간이 파라콤팩트 공간임을 보이는 정리(모리타 정리)를 발표하였다.
주요 성질
파라콤팩트 공간의 중요한 성질로는 다음을 들 수 있다.
- 모든 콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 파라콤팩트 공간이다. 그러나 파라콤팩트성은 유전적 성질(subspace hereditary property)이 아니므로, 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않을 수 있다.
- 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다(디외도네 정리).
- 하우스도르프 공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은, X의 임의의 열린 덮개에 종속되는 단위 분할이 존재한다는 것이다. 이러한 성질 때문에 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적으로 사용되는 단위 분할 이론과 밀접하게 연관된다.
- 스미르노프 거리화 정리에 따르면, 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간은 곧 거리화 가능 공간과 동치이다. 특히 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.
- 모든 정칙 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다(모리타 정리).
- 콤팩트 공간과 파라콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 된다. 그러나 두 파라콤팩트 공간의 곱공간이 항상 파라콤팩트 공간이 되는 것은 아니다.
관련 개념
파라콤팩트 공간의 정의를 변형하여 다양한 약한 형태의 콤팩트성 개념을 얻을 수 있다. 열린 덮개의 세분 조건을 국소 유한 대신 콤팩트 유한(compact-finite)으로 바꾸면 메조콤팩트 공간, 점 유한(point-finite)으로 바꾸면 메타콤팩트 공간, 내부 보존(interior-preserving)으로 바꾸면 직교 콤팩트 공간이 정의된다. 이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
콤팩트 공간 → 파라콤팩트 공간 → 메조콤팩트 공간 → 메타콤팩트 공간 → 직교 콤팩트 공간
또한 '임의의 열린 덮개'를 '가산 열린 덮개'로 약화시킨 가산 파라콤팩트 공간(countably paracompact space)을 비롯한 가산 버전의 개념들도 정의된다.
예시와 반례
유클리드 공간을 포함한 대부분의 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다. 반면 긴 직선(long line)은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만 파라콤팩트 공간이 아니다. 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)은 파라콤팩트 공간이지만, 두 개의 조르겐프라이 직선의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 아닌 것으로 알려져 있다.
