티호노프 공간(Tychonoff space)은 일반위상수학에서 다루는 위상 공간의 한 유형으로, 완비 정칙(completely regular) 성질과 하우스도르프(Hausdorff) 성질을 동시에 만족하는 위상 공간을 가리킨다. 티호노프 공간은 분리공리(separation axioms) 체계에서 T3½ 공간으로 분류되며, T4(정규 하우스도르프) 공간의 부분집합에 해당하는 더 좁은 범주이면서, T3(정칙 하우스도르프) 공간의 부분집합에 해당하는 더 넓은 범주 사이에 위치한다.
정의
어떤 위상 공간 X가 티호노프 공간이라는 것과 다음 조건들이 서로 동치이다.
- X는 하우스도르프 공간이면서 완비 정칙 공간이다.
- X는 콜모고로프(Kolmogorov) 공간이면서 완비 정칙 공간이다.
- X는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분집합과 위상동형이다.
- X는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀한 부분집합과 위상동형이다.
- X 위에 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.
여기서 완비 정칙 공간이란, 임의의 닫힌집합 C와 C에 속하지 않는 임의의 점 x에 대하여, f(x)=0이고 f(C)={1}을 만족시키는 연속 함수 f:X→[0,1]이 존재하는 위상 공간이다.
성질
티호노프 공간의 부분 공간은 다시 티호노프 공간이며, 티호노프 공간들의 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다. 또한 모든 티호노프 공간은 스톤-체흐 콤팩트화(Stone–Čech compactification)를 갖는다. 이와 관련하여, 티호노프 정리(Tychonoff's theorem)에 따르면 콤팩트 공간들의 임의 개수 곱공간은 콤팩트하다.
포함 관계
정규 하우스도르프 공간(T4) ⊊ 티호노프 공간(T3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간 ∩ 완비 하우스도르프 공간)
즉, 모든 정규 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이지만 그 역은 성립하지 않으며, 모든 티호노프 공간이 정칙 하우스도르프 공간이자 완비 하우스도르프 공간이지만 그 역도 성립하지 않는다.
예시 및 반례
- 니미츠키 평면(Niemytzki plane)은 티호노프 공간이지만 정규 공간이 아닌 대표적인 예이다.
- 반대로 티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간도 존재하며, 이는 비교적 복잡한 구성으로 알려져 있다.
명칭의 유래
티호노프 공간이라는 명칭은 러시아의 수학자 안드레이 티호노프(Andrey Nikolayevich Tychonoff)의 이름에서 유래한 것으로, 그가 위상수학 분야에서 기여한 티호노프 정리와 관련하여 이 명칭이 널리 사용되고 있다. 영어권에서는 "Tychonoff space"로, 그 밖에 "Tikhonov space" 또는 "completely regular Hausdorff space"라는 이름으로도 지칭된다. 한국어로는 "완비 정칙 하우스도르프 공간"으로 풀어 쓰이기도 한다.
