정의
대수기하학에서 특이점(英: singular point)은 대수적 다양체(또는 스킴)의 국소적 구조가 매끄럽지 않은 점을 의미한다. 구체적으로, 차원 $n$의 대수다양체 $X\subset \mathbb{A}^m$가 주어진 경우, 점 $p\in X$가 특이점인지 여부는 다음과 같이 판단한다.
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Jacobian 행렬
$$ J(p)=\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j} $$ 여기서 ${f_i}$는 $X$를 정의하는 다항식들의 집합이다.
$$ \operatorname{rank} J(p) < m-\dim X $$
이면 $p$는 특이점이다. -
정규(local)환
점 $p$를 포함하는 국소링 $\mathcal{O}_{X,p}$이 정규환(regular local ring)이면 $p$는 매끄러운 점이며, 그렇지 않으면 특이점이다. -
타원(곡률) 관점
매끄러운 점에서는 접공간이 차원 $\dim X$와 일치하지만, 특이점에서는 접공간의 차원이 더 커지거나 정의되지 않는다.
종류
특이점은 그 성질에 따라 여러 종류로 구분된다.
| 종류 | 특징 | 대표적 예 |
|---|---|---|
| 정상특이점 (ordinary double point) | 차수가 2인 최소 차수의 특이점 | 곡선 $y^2 = x^3 + x^2$의 원점 |
| 결절특이점 (node) | 두 개의 매끄러운 가지가 교차 | 곡선 $y^2 = x^2(x+1)$의 원점 |
| 절점특이점 (cusp) | 하나의 가지가 접선과 접촉 | 곡선 $y^2 = x^3$의 원점 |
| 더 복잡한 특이점 | 다중점, 원뿔, 분리된 매끄러운 부분 등 | 고차원 다양체의 복합 특이점 |
해결(Resolution)과 정칙화
특이점을 가진 다양체는 종종 정칙화(resolution of singularities) 과정을 통해 매끄러운 다양체와 사상 $\pi : \tilde{X} \to X$를 얻는다. 히치(M. Hironaka, 1964)는 복소수 체 위의 대수다양체에 대해 언제든지 정칙화가 가능함을 증명하였다.
주요 문헌
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977. (Chapter I, §3)
- A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique (EGA) IV, §17.
- J. Kollár, Resolution of Singularities, Proceedings of the ICM 2010.
어원 및 사용 맥락
‘특이점’은 한자어 ‘特異點’에서 유래했으며, ‘특별하고 이질적인 점’이라는 의미를 담는다. 한국어 학술 논문·교재에서 ‘singular point’, ‘singularity’를 번역할 때 일관되게 사용된다. 대수기하학 외에도 미분기하학·위상수학·복소해석학 등에서 매끄럽지 않은 점을 지칭할 때 동일한 용어가 쓰인다.
관련 개념
- 정규점 (regular point): 특이점이 아닌 점.
- 매끄러운 다양체 (smooth variety): 모든 점이 정규점인 다양체.
- 극점 (cuspidal point), 결절점 (node) 등은 특이점의 구체적 유형을 가리킨다.
요약
특이점은 대수기하학에서 다양체의 비정상성(비매끄러움)을 나타내는 핵심 개념으로, Jacobian 행렬의 랭크, 로컬링의 정규성, 혹은 접공간의 차원 등을 통해 정의된다. 특이점의 종류와 정칙화 이론은 현대 대수기하학 연구에서 중요한 역할을 한다.
