특이 호몰로지(singular homology)는 위상수학에서 사용되는 호몰로지 이론 중 하나로, 임의의 위상공간 $X$ 에 대해 정의되는 일련의 아벨 군 $H_n^{\text{sing}}(X);(n\in\mathbb{Z}_{\ge 0})$ 을 말한다. 특이 호몰로지는 1940년대 Samuel Eilenberg과 Norman Steenrod에 의해 체계화되었으며, 현대 대전위상수학의 기본 도구로 널리 활용된다.
정의와 구성
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특이 단순단순체 (singular simplex)
- $n$-차원의 표준 단순체 $\Delta^{n}={(t_0,\dots ,t_n)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid t_i\ge0,;\sum_{i=0}^{n}t_i=1}$ 에 대한 연속 사상 $\sigma:\Delta^{n}\rightarrow X$ 를 $n$-특이 단순단순체라 한다.
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특이 체인군
- 자유 아벨 군 $C_n^{\text{sing}}(X)$ 를 모든 $n$-특이 단순단순체 $\sigma$ 들의 정수 계수 선형 결합으로 정의한다. 즉
$$ C_n^{\text{sing}}(X)=\bigoplus_{\sigma:\Delta^{n}\to X}\mathbb{Z},\sigma . $$
- 자유 아벨 군 $C_n^{\text{sing}}(X)$ 를 모든 $n$-특이 단순단순체 $\sigma$ 들의 정수 계수 선형 결합으로 정의한다. 즉
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경계 연산자
- $\partial_n:C_n^{\text{sing}}(X)\rightarrow C_{n-1}^{\text{sing}}(X)$ 를
$$ \partial_n(\sigma)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i,\sigma!\mid_{[v_0,\dots ,\hat v_i,\dots ,v_n]} $$ 로 정의한다. 여기서 $\sigma!\mid_{[v_0,\dots ,\hat v_i,\dots ,v_n]}$ 은 $\sigma$ 를 $i$번째 정점 $v_i$ 를 제외한 면에 제한한 사상이다. - $\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$ 가 성립한다.
- $\partial_n:C_n^{\text{sing}}(X)\rightarrow C_{n-1}^{\text{sing}}(X)$ 를
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특이 호몰로지군
- $n$‑차 특이 사이클군 $Z_n^{\text{sing}}(X)=\ker\partial_n$ 와 $n$‑차 특이 경계군 $B_n^{\text{sing}}(X)=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ 를 이용해
$$ H_n^{\text{sing}}(X)=Z_n^{\text{sing}}(X)/B_n^{\text{sing}}(X) $$ 로 정의한다.
- $n$‑차 특이 사이클군 $Z_n^{\text{sing}}(X)=\ker\partial_n$ 와 $n$‑차 특이 경계군 $B_n^{\text{sing}}(X)=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ 를 이용해
주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 동류 불변성 | 두 위상공간 $X,Y$ 가 연속적으로 동형이면 $H_n^{\text{sing}}(X)\cong H_n^{\text{sing}}(Y)$ (모든 $n$). |
| 정확한 긴열 | 짝 $(X,A)$ 에 대해 $\cdots\rightarrow H_n^{\text{sing}}(A)\rightarrow H_n^{\text{sing}}(X)\rightarrow H_n^{\text{sing}}(X,A)\rightarrow H_{n-1}^{\text{sing}}(A)\rightarrow\cdots$ 가 성립한다. |
| 절제법칙 (Excision) | 열린 부분집합 $U\subset A\subset X$ 로서 $\overline U\subset \operatorname{int}A$이면 $(X\setminus U, A\setminus U)$ 와 $(X,A)$ 의 특이 호몰로지가 동형이다. |
| Mayer‑Vietoris 시퀀스 | $X=U\cup V$ (두 개의 열린 집합) 에 대해 긴 정확한 시퀀스가 존재한다. |
| 차원 공리 | 한 점으로 이루어진 공간 ${\ast}$ 에 대해 $H_0^{\text{sing}}({\ast})\cong\mathbb{Z}$ 이고, $n\ge1$ 에서는 영군이다. |
| 동형성 | CW 복합체, 다각형(단순 복합체) 등 충분히 “좋은” 공간에 대해서는 특이 호몰로지와 다른 호몰로지 이론(예: 단순 호몰로지, 셀 호몰로지)이 자연동형이다. |
역사적 배경
- Eilenberg–Steenrod 공리(1945~1946)에서 특이 호몰로지는 호몰로지 이론을 추상화한 최초의 예시 중 하나로 제시되었다.
- 이후 Norman Steenrod 가 1951년 저서 “The Topology of Fibre Bundles” 에서 체계화하고, Algebraic Topology 분야의 표준 교재(예: Allen Hatcher, Algebraic Topology; Edwin Spanier, Algebraic Topology)에서 기본 예제로 다루어졌다.
응용 및 관련 개념
- 코호몰로지 이론과 베타 항등식(Universal Coefficient Theorem) 등에서 특이 호몰로지는 코호몰로지와의 관계를 분석하는 데 기초가 된다.
- 특이 체인 복합체는 사상 $f:X\to Y$ 가 유도하는 사상 $f_*:H_n^{\text{sing}}(X)\to H_n^{\text{sing}}(Y)$ 를 정의하는 데 사용된다.
- 동형 사상(homotopy equivalence)와 동형 사상유도(homotopy invariance) 증명에 핵심적인 도구이며, 복소 해석학, 대수기하학, 미분기하학 등 다양한 분야에서 위상적 불변량을 계산하는 기반이 된다.
참고문헌
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
- E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw‑Hill, 1966.
- N. Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, 1951.
- S. Eilenberg, N. Steenrod, “Foundations of Algebraic Topology”, Annals of Mathematics 47 (1946): 341‑371.
관련 항목: 호몰로지, 코호몰로지, 셀 호몰로지, 단순 호몰로지, Eilenberg–Steenrod 공리.