특수선형군(Special Linear Group)은 n차 정사각 행렬 중 행렬식(det)이 1인 모든 가역 행렬들의 집합을 군 구조로 갖는 대수적 구조를 말한다. 일반적으로는 $\operatorname{SL}(n, K)$ 혹은 $\mathrm{SL}_n(K)$로 표기하며, 여기서 $K$는 실수체 $\mathbb{R}$, 복소수체 $\mathbb{C}$ 등任意의 체(field)이다.
정의
$$ \operatorname{SL}(n, K) = {, A \in \operatorname{GL}(n, K) \mid \det(A) = 1 ,} $$ 여기서 $\operatorname{GL}(n, K)$는 행렬식이 0이 아닌 모든 $n \times n$ 가역 행렬들의 군이다.
군 구조
- 곱셈: 행렬 곱을 연산으로 사용한다. 두 행렬 $A, B \in \operatorname{SL}(n, K)$에 대해 $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1$이므로 닫힌다.
- 항등원: 단위 행렬 $I_n$은 $\det(I_n)=1$이므로 $\operatorname{SL}(n, K)$의 항등원이다.
- 역원: $A \in \operatorname{SL}(n, K)$이면 $\det(A)=1$이므로 역행렬 $A^{-1}$도 $\det(A^{-1})=1$이며 $\operatorname{SL}(n, K)$에 속한다.
기본 성질
- 정규 부분군: $\operatorname{SL}(n, K)$는 $\operatorname{GL}(n, K)$의 정규 부분군이다. 군의 동형사상 $\det : \operatorname{GL}(n, K) \to K^{\times}$ (여기서 $K^{\times}$는 $K$의 곱셈군) 의 핵(kernel)이 바로 $\operatorname{SL}(n, K)$이다.
- 차원: $\operatorname{SL}(n, K)$는 Lie 군인 경우 실수 또는 복소수 체 위에서 차원은 $n^{2}-1$이다. 이는 $\operatorname{GL}(n, K)$의 차원 $n^{2}$에서 조건 $\det=1$이 하나의 독립적인 제약을 주기 때문이다.
- 연결성: 실수 체 $\mathbb{R}$ 위의 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$는 두 개의 연결 성분을 갖는다. 행렬식이 1인 행렬들 중 행렬식 부호가 양수인 경우와 음수인 경우가 구분되지 않으므로, $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$ 자체는 연결되지 않으며, 이중 커버인 $\operatorname{Spin}(n)$와 관계가 있다. 반면 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$는 복소수 체 위에서 연결된 복소 Lie 군이다.
- 표현론: $\operatorname{SL}(n, K)$는 고전적인 군 중 하나로, 다양한 유한 차원 및 무한 차원 표현을 갖는다. 특히 표준 표현(행렬을 그대로 작용시키는 행위)은 가장 기본적인 $n$ 차원 표현이다.
특수 경우
- $\operatorname{SL}(2, \mathbb{R})$: 2차 실수 특수선형군은 모듈러 군 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$와 관련된 풍부한 구조를 가지며, 이산군, 리만 표면, 그리고 하이퍼볼릭 기하학 등에서 중심적인 역할을 한다.
- $\operatorname{SL}(n, \mathbb{Z})$: 정수 계수를 갖는 행렬들의 특수선형군은 정수형 리 군이며, 대수적 수론 및 격자 이론에서 중요하다.
관련 군 및 구조
| 군 | 정의 | 관계 |
|---|---|---|
| $\operatorname{GL}(n, K)$ | $\det | |
| eq 0$인 모든 가역 행렬 | $\operatorname{SL}(n, K)$는 정규 부분군 | |
| $\operatorname{PGL}(n, K)$ | $\operatorname{GL}(n, K)$을 스칼라 행렬로 나눈 군 | $\operatorname{SL}(n, K)$의 중심을 나눈 $\operatorname{PSL}(n, K)$와 연관 |
| $\operatorname{PSL}(n, K)$ | $\operatorname{SL}(n, K) / Z(\operatorname{SL}(n, K))$ | 단순 군 (n≥2, |
활용 분야
- 대수기하학: 특수선형군은 복소다양체와 사영공간의 자동사상군으로 나타난다.
- 물리학: 양자역학 및 입자물리학에서 보존법칙과 대칭성에 대응하는 군으로, 특히 $ \operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$는 로렌츠 군 $\mathrm{SO}^{+}(3,1)$의 이중 커버로서 상대성 이론에 사용된다.
- 암호학: 일부 공개키 암호체계는 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{Z})$와 같은 군의 계산적 어려움을 기반으로 설계된다.
참고 문헌
- J. E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer, 1975.
- B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Springer, 2003.
- A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser, 2002.