테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서 정의되는 수학적 개념으로, 어떤 함수를 특정 점에서의 도함수(미분계수) 값들을 계수로 사용하여 무한합(급수)의 형태로 나타내는 방법이다. 이를 "테일러 전개(Taylor expansion)"라고도 부른다.
정의에 따르면, 함수 $f(x)$가 점 $a$ 근방에서 무한히 미분 가능할 때, $f$의 테일러 급수는 다음과 같은 멱급수로 표현된다.
$$ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$
여기서 $f^{(n)}(a)$는 $f$의 $n$계 도함수의 $a$에서의 값이며, 특히 $a=0$인 경우의 테일러 급수를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 별도로 부른다.
테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리(James Gregory)가 먼저 발견한 것으로 알려져 있으며, 1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor)가 공식적으로 발표하였다. 매클로린 급수의 명칭은 이 특수한 경우를 18세기에 널리 사용하도록 한 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)의 이름에서 유래하였다.
테일러 급수의 핵심 성질로는 수렴성과 오차 계산이 있다. 매끄러운 함수의 경우 테일러 급수가 항상 수렴하는 것은 아니며, 수렴하더라도 반드시 원래 함수와 동일한 값으로 수렴하지는 않는다. 테일러 급수가 원래 함수로 수렴하는 함수를 해석 함수라고 한다. 반면 복소 함수의 경우, 모든 정칙 함수는 테일러 급수가 항상 원래 함수로 수렴한다.
테일러 급수를 유한한 항까지만 사용하여 함수를 근사할 경우 발생하는 오차는 "나머지 항(remainder term)"으로 표현되며, 이는 $f^{(n+1)}$의 적절한 값으로 기술된다. 이러한 이론적 배경은 테일러 정리(Taylor's theorem)로 정식화되어 있다.
한편, 테일러 급수가 원래 함수와 일치하는 범위는 수렴 반경(radius of convergence)으로 결정된다. 수렴 반경은 급수가 수렴하는 구간의 반지름을 의미하며, 이 범위를 벗어나면 급수는 원래 함수와 다른 값을 가질 수 있다.
테일러 급수는 복잡한 함수를 다항식으로 근사할 수 있다는 점에서 수학 이론뿐 아니라 물리학, 공학, 경제학, 데이터 과학 등 다양한 응용 분야에서 널리 활용된다. 대표적인 예로 지수함수, 삼각함수, 로그함수 등의 초등 함수들이 테일러 급수로 전개될 수 있으며, 수치해석 및 머신러닝 최적화 과정에서도 사용되고 있다.
