정의
테이트군(英: Tate group)은 수학, 특히 대수적 수론·대수기하학·대수적 위상수학에서 사용되는 개념으로, 유한군 $G$와 $G$-모듈 $M$에 대해 정의되는 테이트 코호몰로지군 $\widehat{H}^n(G,M)$을 지칭한다. 일반적인 군 cohomology $H^n(G,M)$와 homology $H_n(G,M)$를 하나의 체계로 통합한 것으로, 음의 차수까지 확장된 코호몰로지 이론이다.
$$ \widehat{H}^n(G,M) ;:=; \begin{cases} \displaystyle \frac{\ker(N)}{\operatorname{im}(1-g)} & (n\ \text{짝수})$$6pt] \displaystyle \frac{\ker(1-g)}{\operatorname{im}(N)} & (n\ \text{홀수}) \end{cases} $$
여기서
- $g$는 $G$의 한 원소(모든 원소에 대해 동일하게 정의)이고,
- $N = \sum_{g\in G} g$는 노름 맵(norm map)이며,
- $\operatorname{im}$·$\ker$은 각각 이미지와 핵을 의미한다.
이 정의는 $n$를 정수 전체에 대해 연속적으로 확장되어, 양의 차수에서는 전통적인 코호몰로지, 음의 차수에서는 전통적인 호몰로지를 동시에 다루게 된다.
역사·배경
테이트군은 존 테이트(John Tate, 1925–2019) 가 1952년 발표한 “Homology of Number Fields” 논문에서 처음 도입하였다. 당시 테이트는 대수적 수체의 클래스 필드 이론과 이데얼 클래스 군의 구조를 연구하면서, 유한군 작용 아래의 모듈에 대해 보다 대칭적인(cohomological) 도구가 필요함을 깨달았다.
그는 기존의 군 코호몰로지와 호몰로지를 하나의 체계로 묶는 방법을 제시했으며, 이를 테이트 코호몰로지(또는 테이트 군)라고 명명하였다. 이후 이 이론은 다음과 같은 분야에 광범위하게 응용된다.
- 대수적 수론 : 대수적 정수론의 클래스 군, 유니트 군, 그리고 Tate–Shafarevich 군 $\Sha(E/K)$의 정의
- 대수기하학 : 아벨론티스(abelian variety)와 그 매듭(cohomology) 이론, 특히 Tate module $T_\ell(A)$
- 대수적 위상수학 : 유한군 작용을 갖는 셀 복합체의 정밀한 호몰로지/코호몰로지 계산
- 표현론 : 그룹 표현의 조화적 분석과 사상(Induction/Restriction) 정리
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 주기성 | $\widehat{H}^n(G,M) \cong \widehat{H}^{n+2}(G,M)$ (주기 2) |
| 정확한 열 | 짧은 exact sequence $0\to A'\to A\to A''\to0$ 에 대해 $\widehat{H}^n(G,-)$ 가 장정 정확한(양쪽) functor |
| 디듀얼리티 | $\widehat{H}^n(G,M) \cong \widehat{H}^{-n-1}(G,M^\vee)$ (여기서 $M^\vee = \operatorname{Hom}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$) |
| 노름-차이 사상 | 차수 0에서 $\widehat{H}^0(G,M)=M^{G}/N(M)$, 차수 $-1$에서 $\widehat{H}^{-1}(G,M)=\ker(N)/I(M)$ ( $I$는 augmentation ideal) |
| 유한성 | $G$가 유한군이고 $M$가 유한 $G$-모듈이면 모든 $\widehat{H}^n(G,M)$도 유한군이다. |
응용 예시
-
Tate–Shafarevich 군 $\Sha(E/K)$
타원곡선 $E$와 수체 $K$에 대해 $\Sha(E/K)=\ker\bigl(H^1(K,E) \to \prod_{v} H^1(K_v,E)\bigr)$ 를 정의하는데, 이때 사용되는 공동 코호몰로지 $H^1$ 은 테이트 코호몰로지의 특수 경우이다. -
Tate 모듈
아벨리안 다양체 $A$에 대한 $\ell$-adic Tate 모듈 $T_\ell(A)=\varprojlim_n A[\ell^n]$ 은 $G_K$ (절대 갈루아 군)의 연속적인 $\mathbb{Z}\ell$-표현이며, 그 구조는 $\widehat{H}^1(G_K,T\ell(A))$ 와 밀접히 연결된다. -
클래스 필드 이론
전역 필드 $K$의 이데얼 클래스 그룹 $Cl_K$는 $\widehat{H}^0(G,\mathcal{O}_L^\times)$ 로 표현될 수 있다(여기서 $L/K$는 유한 아벨ian 확장, $G=\operatorname{Gal}(L/K)$).
관련 개념
| 용어 | 설명 |
|---|---|
| 코호몰로지 군 $H^n(G,M)$ | 전통적인 군 코호몰로지, 테이트 군의 양의 차수 부분 |
| 호몰로지 군 $H_n(G,M)$ | 전통적인 군 호몰로지, 테이트 군의 음의 차수 부분 |
| 노름 사상 $N$ | $N=\sum_{g\in G}g$ 로 정의되는 맵, 테이트 코호몰로지 정의에 핵심 |
| 증강 아이디얼 $I$ | $I=\ker(\varepsilon:\mathbb{Z}[G]\to\mathbb{Z})$ ( $\varepsilon$는 총합 사상) |
| Tate Duality | $\widehat{H}^n(G,M) \times \widehat{H}^{-n-1}(G,M^\vee) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 로 주어지는 쌍대성 |
참고문헌
- J. Tate, “Homology of Number Fields”, Annals of Mathematics, 1952.
- J. Milne, “Arithmetic Duality Theorems”, 2nd ed., 2006 – Chapter 1에 테이트 코호몰로지 정리 수록.
- S. Lang, “Algebraic Number Theory”, 2nd ed., 1994 – 테이트–시프레프 군 소개.
- J. S. Milne, “Class Field Theory” (online notes), 2020 – 테이트 코호몰로지와 클래스 군의 관계.
- K. Kato, “Lectures on the Theory of the Tate Module”, 2008 – Tate 모듈과 코호몰로지의 현대적 전개.
요약
테이트군은 유한군 작용 아래의 모듈에 대해 정의되는 테이트 코호몰로지 $\widehat{H}^n(G,M)$를 의미한다. 차수 2의 주기성을 가지며, 정확한 열을 유지하는 등 전통적인 코호몰로지·호몰로지 이론을 하나로 통합한다. 수론·기하·위상수학 등 다양한 분야에서 핵심 도구로 활용되며, 특히 Tate–Shafarevich 군, Tate 모듈, 클래스 필드 이론 등에 깊이 관여한다.