탈레스 정리 (평행)은 평행선 두 직선이 두 개의 평행하지 않은 직선(또는 광선)과 만날 때, 잘린 선분의 길이가 비례 관계에 있음을 나타내는 기하학적 정리이다. 탈레스의 정리, 평행선 사이의 선분의 비, 또는 선분 비례 정리라고도 불린다. 고대 그리스의 수학자 탈레스가 피라미드의 높이를 측정하는 데 이 원리를 이용했다는 일화에서 이름이 유래하였다.
내용
두 직선 $l_1, l_2$이 평행하고, 이들을 가로지르는 두 직선(또는 광선) $m_1, m_2$이 있을 때, $m_1, m_2$이 평행선 $l_1, l_2$에 의해 잘린 선분의 길이는 서로 비례한다.
구체적으로, 한 점 $O$에서 나간 두 광선 $OA, OB$이 있고, 이 광선들에 평행한 직선들이 $OA$ 위의 점 $A, C$와 $OB$ 위의 점 $B, D$를 지날 때(단, $AC \parallel BD$), 다음 관계가 성립한다.
$$ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} $$
또는 두 평행선 사이를 지나는 두 직선이 잘린 경우, 내분점과 외분점에 대한 비례식으로 확장되어 표현되기도 한다.
수학적 의의
- 닮음의 기초: 삼각형의 닮음 조건(두 쌍의 변의 비례와 끼인 각, 세 쌍의 변의 비례 등)을 증명하는 핵심적인 도구로 사용된다.
- 좌표 기하학: 직선의 방정식과 기울기 개념의 기하학적 토대가 된다.
- 실생활 응용: 측량, 건축, 원근법 등에서 직접 측정하기 어려운 거리나 높이를 계산하는 데 활용된다.
역자(逆定理)
탈레스 정리(평행)의 역도 성립한다. 한 점에서 나간 두 광선 위에 취한 네 점 $A, B, C, D$에 대해 $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$가 성립하면, $AC \parallel BD$이다. 이 역 정리를 이용해 두 직선이 평행함을 보이거나, 평행선을 작도하는 데 이용한다.
교육적 위치
대한민국 교육과정(2015 개정 교육과정 기준) 중학교 수학(2학년) '도형의 성질' 단원에서 '평행선과 선분의 비'라는 명칭으로 다루어지며, 고등학교 수학에서 삼각형의 닮음과 삼각비, 벡터 등으로 확장 학습된다.
