탄젠트 법칙(Law of tangents)은 삼각법에서 삼각형의 두 변의 길이와 그 두 변의 대각(對角)의 차이 및 합 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 사인 법칙, 코사인 법칙과 함께 삼각형의 변과 각의 관계를 나타내는 기본적인 삼각함수 법칙 중 하나이다.
정의
삼각형의 세 변의 길이를 각각 $a, b, c$라 하고, 각 변의 대각(마주보는 각)을 각각 $\alpha, \beta, \gamma$라고 할 때, 탄젠트 법칙은 다음과 같이 표현된다.
$$ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\left[\frac{1}{2}(\alpha - \beta)\right]}{\tan\left[\frac{1}{2}(\alpha + \beta)\right]} $$
$$ \frac{b - c}{b + c} = \frac{\tan\left[\frac{1}{2}(\beta - \gamma)\right]}{\tan\left[\frac{1}{2}(\beta + \gamma)\right]} $$
$$ \frac{c - a}{c + a} = \frac{\tan\left[\frac{1}{2}(\gamma - \alpha)\right]}{\tan\left[\frac{1}{2}(\gamma + \alpha)\right]} $$
즉, 두 변의 차이를 합으로 나눈 값이, 해당 두 변의 대각의 차이의 절반에 대한 탄젠트 값을 그 합의 절반에 대한 탄젠트 값으로 나눈 것과 같다는 관계를 나타낸다.
증명 개요
탄젠트 법칙은 사인 법칙과 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식(삼각함수의 합차공식)을 이용하여 유도할 수 있다. 사인 법칙에 의해 $a = 2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$ ($R$은 외접원의 반지름)이므로,
$$ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta} $$
우변에 삼각함수의 합차공식 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$와 $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$를 적용하면 탄젠트 법칙의 식이 얻어진다.
활용
탄젠트 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사이각이 아닌, 두 변과 그중 한 변의 대각을 알고 있을 때 나머지 각과 변을 구하는 문제에 사용될 수 있다. 그러나 실용적인 측면에서는 사인 법칙이나 코사인 법칙에 비해 사용 빈도가 낮은 편이며, 주로 삼각함수 이론 전개 과정이나 특정 형태의 기하학적 증명에서 다루어진다.
