탄젠트(tangent)는 삼각함수의 세 가지 기본 함수 중 하나로, 기호로 tan으로 표기한다. 영어 'tangent'는 '접한다'는 뜻의 라틴어 tangens에서 유래하였으며, 원에 접하는 선에 빗대어 붙여진 이름이다. 한자 문화권에서는 '정절(正切)'이라고 번역되었다.
정의
탄젠트는 두 가지 방식으로 정의된다.
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직각삼각형을 통한 정의: 직각삼각형에서 기준각 A에 대하여, 탄젠트는 각 A의 맞은편 변(높이)의 길이를 각 A에 인접한 변(밑변)의 길이로 나눈 값이다. 즉, tan A = a/b (여기서 a는 각 A의 대변, b는 각 A의 인접변)이다.
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단위원을 통한 정의: 좌표평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름 1의 단위원 위의 점 (x, y)에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을 θ라고 할 때, tan θ = sin θ / cos θ = y/x로 정의된다. 이 정의는 임의의 실수에 대하여 유효하며, cos θ = 0인 지점(θ = π/2 + nπ, n은 정수)에서는 정의되지 않는다.
성질
- 주기성: 탄젠트는 주기가 π(180°)인 주기함수이다. 즉, tan(z + π) = tan z가 성립한다.
- 기함수(홀함수): tan(-z) = -tan z가 성립한다.
- 정의역: 탄젠트는 cos θ = 0인 점, 즉 θ = π/2 + nπ(n은 정수)에서 정의되지 않으며, 이 점들에서 무한대로 발산하는 특성을 가진다.
- 특수각에서의 값: 0°에서 0, 30°에서 1/√3, 45°에서 1, 60°에서 √3, 90°에서 정의되지 않는다.
응용
탄젠트는 물리학, 공학, 건축, 신호 처리, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 다루는 탄젠트 법칙(law of tangents)은 임의의 삼각형 ABC에서 (a+b)/(a-b) = tan((A+B)/2) / tan((A-B)/2)의 관계를 나타낸다.
역수 관계
탄젠트의 역수는 코탄젠트(cotangent, 기호 cot)이며, cot θ = 1/tan θ = cos θ / sin θ로 정의된다.
