군론(Group Theory)에서 클라인 부분군(Klein部分群, 영어: Kleinian subgroup)은 복소수 계수 2차원 사영 선형군 PSL(2, ℂ)의 이산 부분군(discrete subgroup)을 가리킨다. PSL(2, ℂ)은 3차원 쌍곡 공간 H³의 방향을 보존하는 등거리 변환군(isometry group)과 동형이며, 또한 리만 구(Riemann sphere) 위의 방향 보존 등각 변환군과도 동형이다. 따라서 클라인 부분군은 이들 공간 위에 이산적으로 작용하는 군으로 이해될 수 있다.
정의
PSL(2, ℂ)의 부분군 Γ가 다음 두 조건을 만족시킬 때 클라인 부분군이라고 한다.
- 열린 공 B³ ⊆ ℝ³ 상의 임의의 점 x에 대해, x를 고정시키는 Γ의 원소들로 이루어진 안정자군(stabilizer) {γ ∈ Γ : γ·x = x}은 유한군이다.
- 임의의 x ∈ B³의 궤도 Γ·{x} ⊆ B³는 (B³의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.
무한구와 극한 집합
3차원 쌍곡 공간의 경계는 2차원 구 S²∞로 나타내어지며, 이를 무한구(sphere at infinity)라고 한다. 클라인 부분군 Γ는 이 무한구 위에도 자연스럽게 작용한다. 무한구 위의 한 점 p의 궤도 Γ·{p}의 응집점(accumulation point)들의 집합을 Γ의 극한 집합(limit set) Λ(Γ)이라고 하며, 그 여집합 Ω(Γ) = S²∞ \ Λ(Γ)를 정규 집합(regular set) 또는 불연속 영역(domain of discontinuity)이라고 한다.
역사
클라인 부분군의 이론은 독일의 수학자 펠릭스 클라인(Felix Klein, 1849~1925)과 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré, 1854~1912)가 1883년에 공동으로 창시하였다. "클라인 부분군"(프랑스어: groupe kleinéen)이라는 명칭은 푸앵카레가 같은 해 논문에서 처음 사용하였다.
주요 예시
- 자명군: 자명하게 클라인 부분군이다.
- 비안키 군(Bianchi group): 제곱 인수가 없는 양의 정수 d에 대해, 허수 이차 수체 ℚ(√-d)의 대수적 정수환 O_d에 대한 PSL(2, O_d)는 클라인 부분군이다.
- 푹스 군(Fuchsian group): PSL(2, ℝ)의 이산 부분군은 모두 클라인 부분군이며, 리만 구 위에서 실수선을 보존하는 클라인 부분군은 푹스 군과 같다.
- 쌍곡 3차원 다양체의 기본군: 임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체(orientable hyperbolic 3-manifold)의 기본군(fundamental group)은 클라인 부분군이다. 이 경우 H³/Γ는 해당 다양체의 클라인 모형(Kleinian model)이 된다.
- 샤트키 군(Schottky group), 준푹스 군(quasi-Fuchsian group) 등 다양한 하위 유형이 존재한다.
분류
클라인 부분군은 극한 집합의 성질, 쌍곡 부피의 유한성, 기하학적 유한성(geometric finiteness) 등 여러 기준에 따라 분류된다. 대표적인 유형으로는 유한형(finite type), 유한 공부피(finite covolume), 기하학적 유한(geometrically finite), 산술적(arithmetic), 조밀 콤팩트(cocompact) 등이 있다.
클라인 부분군은 3차원 쌍곡 기하학, 리만 곡면 이론, 복소 동역학계, 정수론 등 여러 수학 분야와 깊이 연결되어 있으며, 윌리엄 서스턴(William Thurston)의 3차원 다양체 기하화 추론(geometrization conjecture)의 핵심적인 구성 요소이기도 하다.
